I -^j dx -{- ( -^-] dy -]- ( -^] de =z o
à^\ y [do
ou enfin, en tenant compte de l'équation (9),
On peut satisfaire à cette équation de deux manières : i*^ En posant
dc^:=^o, d'où c=:const. ;
la valeur correspondante de y étant donnée par l'équation (7), on retombe ainsi sur la soîution générale; 2° En posant
Cette équation détermine la valeur de y en fonction de x. L'inconnue auxiliaire c sera ensuite déterminée par l'équation (7).
La nouvelle solution ainsi obtenue se nomme la solution singulière de l'équation différentielle.
En considérant x, y comme les coordonnées d'un point, chaque solution particulière
cp(^,r, c) = o,
où c est supposé constant, représente une courbe.
La solution générale représente l'ensemble de ces courbes. Enfin la solution singulière, définie par l'équation
l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
résultat de l'élimination de c entre les équations
représentera l'enveloppe de ce système de courbes.
Il arrivera parfois que les deux équations (lo) soient incompatibles, auquel cas il n'y aura pas de solution singulière; ou que la valeur de c en fonction de x^ déduite de ces équations, se réduise à une constante; dans ce cas, la solution singulière se confondra avec l'une des solutions particulières contenues dans la solution générale.
10. Les considérations précédentes peuvent aisément s'étendre à des systèmes d'équations différentielles simultanées. Soient, par exemple,
(il) ?i = 0, cp2=:0
deux équations entre la variable indépendante x^ les deux fonctions jKi , JK2 et deux constantes c,, Co ; on en déduira, en différentiant et éliminant c,, C2, les deux équations difïérentielles
dx J \àfij \àv2
dont les équations (i i) représentent la solution générale.
Pour obtenir les autres solutions s'il en existe, prenons pour inconnues auxiliaires les quantités Ci, c^ définies par les équations (i 1).
La différentiation de ces équations donnera
^da>+^dy, + -, dy, + ^ de, + -- rfc, = o, ^d.+ ^^dy, + ^^dy,+ ^^dc,+ -^^dc,= o .
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l5
OU, en éliminant Cj, Co et tenant compte des équations (12),
. , de
OCi
On peut satisfaire à ces équations :
1° En posant
<ic, = o, dc^^^^o,
d'où
Ci=const., C2^=const.;
on retombe ainsi sur la solution générale; 2° En posant
\ dci ) \ dci ) \dc^) \ dci
auquel cas les équations (i3) se réduisent à une seule d'entre elles, par exemple à
Cela posé, des trois équations
cpi=:0, cp2 = 0, A r— o
on pourra déduire les valeurs de C|, C2, ^2 en fonction de œ et dey^. Substituant ces valeurs et leurs différentielles dans l'équation (14)5 elle prendra la forme
X dx -H Y dVj = o,
où X, Y sont des fonctions de x' et de j^,.
Toute solution j^, de cette équation, combinée avec la valeur correspondante de j^2 tirée de A = o, donnera une solution singulière des équations différentielles (12;.
3° Enfin, si les équations
étaient satisfaites par un même système de valeurs dej^i, j^^i
l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
elles fourniraient une nouvelle solution; mais le système de ces équations est généralement surabondant.
11. Le problème de l'intégration des équations différentielles (ou des systèmes d'équations différentielles) peut être envisagé sous deux points de vue différents.
On peut se proposer d'obtenir une solution générale. Celle-ci trouvée, les solutions singulières s'en déduiront immédiatement si l'on a affaire à une seule équation , ou s'il s'agit d'un système d'équations différentielles, par l'intégration d'un nouveau système d'ordre moindre que le proposé. On pourra ainsi former le tableau de toutes les solutions possibles.
Mais, dans les applications du Calcul intégral, la question de l'intégration se présente autrement. Les fonctions inconnues sont assujetties, non seulement à satisfaire aux équations différentielles données, mais à d'autres conditions accessoires qui achèvent de les préciser, de telle sorte que le problème ne présente plus rien d'indéterminé.
Considérons, par exemple, le mouvement d'un point dans l'espace. D'après les principes de la Mécanique, ce mouvement sera défini par les six équations suivantes :
dx ^1 cly ^ , dz
dt-""' dl~~^' dt
dx' , dy' dz'
dt ^ dt dt '
o\x m désigne la masse du point; x^y^ z ses coordonnées à l'époque ^^ X, Y, Z les composantes de la force qui le sollicite.
Il est clair que la question ainsi posée est encore indéterminée. Mais on pourra achever de la préciser en se donnant, par exemple, la position du point, et les composantes de sa vitesse à l'instant initial Iq. Le problème deviendra, en général, déterminé, et pourra se formuler ainsi :
Trouver six fonctions x, y, ^, x' ^y\ z de la variable tj
qui satisfassent aux équations différentielles (i5), et qui prennent des valeurs données x^^ ji'o, ^o) ^'o' J^o» ^'a pour
t^tç,.
La question ainsi posée sera facile à résoudre si l'on peut déterminer la solution générale du système (i5). Cette solution sera, en effet, donnée par un système de six équations
entre x, r, ^, x' ^ y' ^ z' , t et six constantes arbitraires a^^ ..., ^6. En exprimant que ces six équations sont satisfaites lorsqu'on y pose t=^tQ, X =z Xq^ . . . , 2'= z'^^ on obtiendra six équations de condition pour déterminer les valeurs de <2i , . . ., «6 correspondantes à la solution particulière que l'on cherche. Mais ce n'est que dans des cas très spéciaux qu'on sait obtenir la solution générale d'un système d'équations différentielles. On se trouvera donc réduit le plus souvent à étudier la solution particulière qui satisfait au problème déterminé que l'on a en vue. Il existe pour traiter cette nouvelle question des procédés d'approximation numérique que nous exposerons plus tard, et qui seraient inapplicables au problème plus étendu, mais plus vague, de la recherche de la solution générale.
