IS)-»Œ

/ àxi

Mais on a, d'autre part,

àx,i ^i dxi ou, en développant et divisant par |jl, à^ , V x^' ^

L'équation précédente pourra donc s'écrire

='^'*(Ife)^^'"^'°=^-

Cette équation, qui a lieu pour /i = i,..., w?, montre que

est une intégrale.

74. Admettons qu'en combinant les procédés ci-dessus, ou aulrement, on ait réussi à obtenir p intégrales dis-

tinctes cp,, . . ., cp^ du système S. Eq prenant cp,, . . ., cp^ pour variables à la place de Xfn+i, •••, ^m+p par exemple, les équations X^cp = o seront transformées en de nouvelles équations de même forme, mais ne contenant pas les dérivées

partielles ~ , • • • , y-^? puisque cp,, . . . , Op sont des solutions.

On aura donc

o^h 4ij/t oxk (hz^i, 2, . . ., m] k ~- m ^ p -h i , . . . , m -h n) ,

les X^ étant des fonctions de cp,, ..., cp^, x,„^p^i, ...,

Soient B'cp, ..., B^cp, ... les transformations infinitésimales que l'on suppose connues. On aura

D'ailleurs, cp^ étant une intégrale, B^o/= p} sera également une intégrale. Si nous admettons que nous ayons tiré tout le parti possible des procédés ci-dessus indiqués, cette intégrale ne sera pas nouvelle, mais se réduira à une fonction de

Posons, pour abréger,

àf.

et supposons que, parmi ces expressions, il y en ait q qui soient linéairement distinctes, à savoir A', . . ., A^. Les suivantes A^+* , . . . seront de la forme

les coefficients y étant des fonctions des |3, et par suite étant des intégrales.

86 TROISIÈME PARTIE. — GlIAPITUE 1.

Cela posé, on aura évidemment

D^'^ étant une nouvelle transformation infinitésimale, qui se réduit à la forme plus simple

Admettons que, parmi les transformations de cette sorte ainsi déterminées, il yen ait/' linéairement distinctes D'cp, ...,

Toutes les autres seront de la forme

SiD'cp -h. . ., -f- £,.D'"cp,

où les quantités £,,...,£;. devront être des intégrales, et par suite des fonctions de cpi , . . ., ^^.

Réciproquement, toute expression de cette forme représentera une transformation infinitésimale du système S.

En particulier^ les transformations

(D'cp,D^cp) ne contenant pas dans leur expression les dérivées —, • ••>

> devront être de cette forme.

75. Gela posé, deux cas pourront se présenter : i** Si p -\- r <^ /^, les équations

X'* 'f = O, D'cp = O ( A r= 1 , 2, . . . ,. /?! ; / = I , 2-, . . , , /•)

entre les m -\- n — p variables :r , , , x,n^ .r,„^^;^, , . . . , x,,,^,^

('ji|, . .., 'Qp étant traités comme des paramètres) forment un système complet^ en vertu des relations

(X^'cp, X'^cp) == o, (D'cp, X^-cp) =r O,

(D^'cp, D'^-cp) == s^^^-D'cp -f-. . .-H £;./^D'-cp. Ce système admettra donc ii — /> — /intégrales, cp^,^, ,...,.

o,i r^ qui sont évidemment celles des intégrales du système S qui ne sont pas altérées parles transformations D'cp, ..., D^'cp. Lorsqu'on les aura trouvées (par l'intégration d'un système Je n — p — /' équations difTérentielles ordinaires), les r intégrales encore inconnues dépendront de l'intégration d'un second système de /' équations différentielles.

L'avantage obtenu dans ce cas consistera donc à décomposer en deux le problème de la recherche des intégrales çp^^i , . . .; cp„ encore inconnues.

Soit, en effet,

D^'cp nirV l\. ' -- ( /r = m + /^ + I , . . . , m -i- /i),

et désignons par A le déterminant des coefficients \]^\ par J lejacobien des intégrales inconnues ^;j+i, •••, ^n par rapport aux variables Xk'

Formons le produit AJ par la règle connue; on obtiendra 'un nouveau déterminant I, dont les éléments sont les quantités D^cp^. Or ces expressions sont des intégrales; donc -. sera une intégrale ; d'autre part, J est un multiplicateur ; donc J sera également un multiplicateur.

Or cette quantité est égale à -•> quantité connue.