Toute expression de la forme

\ ^/X^cp {i-=i, 2, . . ., m)

; représente une transformation infinitésimale de S en luimême.

j. — Cours, in. 6

En effet, on a

oar (X'^cp, X^cp) est nul; et, d'autre part, on a

d^h jLj'c àx,, Si donc S admet une transformation infinitésimale

il admettra évidemment la transformation

Bcp = Ao ^iX'cp -. . .- e,„X'«(p,

laquelle se réduit à la forme

y d'o y do

Il nous suffira évidemment d'étudier les transformations de cette sorte, toutes les autres pouvant s'en déduire par l'adjonction d'une fonction linéaire de X'cp, . . ., X'^cp.

Pour les transformations de la forme Bcp, les équations de condition (i3) prendront la forme plus simple

(X^'cp, Bcp) = o;

car le premier membre de ces équations, ne contenant pas

les dérivées partielles -r-^ ? •••) -r-^? ne pourra se réduire à

une fonction linéaire de X'cp, .... X"'cp que s'il s'annule identiquement.

71. Si S admet deux transformations Bcp, B'cp, il admettra la transformation (Btp, B'cp).

On a, en effet (47), l'ideiitilé (X^cp, (Bcp, B'cp)) -+- (Bcp, (B'cp, X^^cp)) -f- (B'cp, (X'^cp, Bcp)) ^ o.

Mais (X^cp, Bcp) et (B'cp, X'^cp) sont nuls par hypothèse; donc cette égalité se réduira à

(X^cp,(Bcp,B'cp))=.o.

72. Soient B'cp, ..., B^cp des transformations du système S qui ne soient liées par aucune relation linéaire; si l'expression

Bcp=:^p,B'> (.-.=:: 1,2,...,/)

est une autre transformation du même système, p^, ..., [j/ seront des intégrales, et réciproquement. On a, en effet,

expression qui ne peut s'annuler, par hypothèse, que si tous les coefficients X'^^/ sont nuls, ce qui montre que p/ est une intégrale.

73. Enfin, si l'on connaît un multiplicateur ^ du s^^stème S et une transformation infinitésimale Bcp, on en déduira une intégrale.

Soit, en effet,

{i =: 771 -\- l , . . . , 7Jl -\- n).

Nous aurons, quel que soit /i,

0=:(X^^cp, Bcç)

i et k variant de /?^ + i à m -^ 7i.

dxfj dxi

Dans celle idenlité, les coeffîcienls de chacune des dérivées

partielles -r-^ doivent être nuls séparément; nous aurons donc

àJ^h jLJk\ àxu dxjj

Différentions cette équation par rapport à Xi\ sommons par rapport à i et supprimons les termes qui se détruisent; il viendra