MSS^ I

et, « fortiori,

en désignant par r la plus petite des quantités d, d' , d", et posant, pour abréger,

On obtiendrait la même limite pour le module de ^apy Soient enfin Xq -\- h, y^ -f- /r, Zq-\- l des points assez voisins de Xq, JK05 ^0 pour que les droites qui les joignent à ces derniers points soient respectivement comprises dans l'intérieur des contours K, K', R^', et soient 8, 8', Z" les plus courtes distances de ces droites à ces contours; on aura

[ |[/(^oH-^^7o-H/', -0+ 0— /(^o;/», -o)]|

ht, y

U)dl

l -.— ) /(^o 4- ht, jo + /' ^ -0 + ^0 ^^^

82. Ces préliminaires posés, clierchons à déterminer des fonctions y, z qui satisfassent aux équations données

dv

dz

dx

et qui, pour x = Xq^ se réduisent respectivement à jKo -\- ^ et à ^0 + A /V et / désignant des constantes très petites. Nous poserons, à cet effet,

Z — Zo=:l -i~\dl^,y{x — Xo)'^^k^l''

Substituons ces valeurs dans les équations (3), développons le second membre suivant les puissances de x — Xq, ky /, et égalons les coefficients du terme général; il viendra

F et <I> étant des polj'DÔmes à coefficients positifs, formés avec ceux des coefficients a, b^ c, d, où la somme des indices ne surpasse pas ).+ pi H- V.

Les équations précédentes déterminent, successivement et sans ambiguïté, les coefficients c et d; ils seront donnés par des expressions de la forme

( 5 ) CXJJ.V = Fxjxv 5 di^y = *xjxv ,

FxjjLv et $xp.v étant des polynômes à coefficients positifs, formés avec les quantités a, b.

Les expressions (4), où les coefficients c, d seront déterminés par les équations (5), satisfont évidemment aux conditions du problème. Si l'on j groupe ensemble les termes affectés des mêmes puissances de k et de /, on obtiendra un résultat de la forme