Jo

SpAl^/^ Z - ^0 ^ y T[;.vAl^/^

Sjxv et T[j.v étant des séries qui procèdent suivant les puissances de ^ — Xq.

En supprimant dans les expressions précédentes les termes qui dépendent de A' et de /, il viendra

et il est clair: i"qiie ces équations donnent un système d'intégrales qui se réduisent à yo, Zq pour a:=^Xo\ 2° qu'on aura

83. La méthode que nous venons de suivre suppose évidemment que les séries sur lesquelles nous opérons sont absolument convergentes. Nous allons vérifier qu'il en est ainsi tant que /r, /, ^ — Xq seront suffisamment petits.

Remplaçons, en effet, dans les séries (4) chacun des coef-

fîcients «apy, c^apY par la quantité ^^ — ^j limite supérieure

de son module, et les quantités k, l par une même quantité positive m, au moins égale à |A"| et à |/|. Nous obtiendrons de nouvelles séries, à coefficients positifs, et dont chaque terme aura un module au moins égal à celui du terme correspondant des séries primitives. Celles-ci seront donc absolument convergentes si les nouvelles séries le sont.

Mais ces séries sont évidemment celles que l'on obtiendrait si l'on cherchait à déterminer des fonctions Y, Z, qui se réduisent à yQ + m, ^0 + m pour x = Xq^ et qui satisfassent aux équations différentielles

^^^^ -[r-(^-^o)][A'-(Y-jo)][r-(Z-^o)]'

dZ N

Or on peut intégrer directement ces équations et s'assurer que ces fonctions Y, Z existent, et sont développables en séries convergentes quand m el x — Xq sont suffisamment petits.

On en déduit, en effet,

dZ =: dY,

et, en intégrant de Xq à x^

Z — >^o = Y — jo-

Substituant dans la première équation, il vient

dY N

dx-[r-{x-Xo)][r-{Y-y,)Y i — Cours, III. 7

OU, en séparant les variables et intégrant de Xq à :r,

cl enfin

(7) Y-yo-=/'-Ç/(/'-m)^^4-3Nlog(^i-

La fonction de m et de ^ — Xq ainsi définie n'a évidemment de points critiques que ceux pour lesquels on aurait

j ; — =0, d OU X — Xq = r

ou

(/■ — m)5 + 3N]og(^i~

a: — Xo=^ r — re

Si donc on assujettit m elx — Xq aux conditions suivantes (où q désigne une quantité positive << /)

\x — Xq\ <i /' — re '^^

Y — j'o restant monodrome et continu pour tous les systèmes de valeurs considérés, sera développable en une série procédant suivant les puissances de 77i et de ^ — Xq et convergente dans les limites ci-dessus.

Cette série se déduirait d'ailleurs de la série (4), qui donne y — y^, en remplaçant k, l par m et les coefficients cx[j.v pai^ une limite supérieure de leurs modules. On obtiendra une limite supérieure de la somme des modules de ses termes, et a fortiori une limite supérieure du module de y — jKoî en remplaçant m par q, el x — Xq par son module dans la série, ou dans l'expression équivalente (7).

Donc

^(,--^)3 + 3Nlog[.-^^l].

et l'on obtiendra la même limite pour le module de ^ — Zq. Si nous supposons maintenant que q tende vers zéro, la limite du module de ^ — ^07 en deçà de laquelle la convergence est assurée, tendra vers la quantité fixe

re

que nous désignerons par p. Et, si |.r — œo\ est assujetti à rester << p — 8, 3 étant une quantité positive quelconque, \y — 7o\ et 1^ — Zq\ resteront constamment moindres que r — £, £ étant une quantité positive, déterminée par la relation

£ = i/V^4-3Nlo§( I- ^

Nous obtenons donc, comme conséquence de toute cette analyse, le théorème suivant :

Les équations (i) admettent un système d^ intégrales y, z qui se réduisent à yo, Zq, pour x = ^o- C<^^ intégrales et leurs dérivées successives par rapport aux paramètres y ^^ Zq, sont développables suivant les puissances entières et positives de x — Xq^ en séries convergentes, tant que le module de x — Xq sera moindre que la quantité fixe

Enfin, si ce module reste inférieur à 0 — 8, les modules de y — jKo et de z — Zq resteront inférieurs à r — £, s étant une ciuantité positive, dépendante de 0.

84. Les séries y, ^, que nous venons de déterminer, constituent le seul système de solutions des équations différentielles qui se réduisent à^o ^0 pour x = Xq.

Pour le montrer, considérons une ligne rectifîable quelconque L partant du point Xq et supposons :r astreint à parcourir cette ligne. Soient Y, Z deux fonctions défîaies le long de cette ligne, lesquelles satisfassent aux équations différentielles, et se réduisent àyo> ^o pour ^ = Xq. Nous allons établir que dans toute la partie de L où |^ — ^o| <C p — '^d Tj étant une quantité fixe quelconque, on aura nécessairement Y --=^y, 7j = z.

On a, en effet, dans toute cette portion de L

0 désignant une quantité fixe qui dépend de y].

Les fonctions Y — y, Z — :; admettent, par hypothèse, les dérivées

Elles ne peuvent donc varier que d'une façon continue, et leurs modules, nuls au point ûCq, origine de L, ne pourront atteindre ou dépasser un nombre s (que nous supposerons infiniment petit) sans avoir franchi toutes les valeurs intermédiaires.

Or tant que ces modules seront << £, on aura

|Y-y| = | r[/{a:,Y,Z)~/{a^,f,z)]dx

^ 0 e (O Ej-T)

5 désignant l'arc de L compris entre ^o et x,

bi nous prenons £ <^ -> cette expression seramomare que

lôsN 8^ ^

et si Parc s est moindre que la quantité finie -r—^- elle sera

moindre que -•

Donc sur cet arc fini s, |Y —j\ (et aussi |Z — ^j) ne pourront prendre aucune des valeurs comprises entre - et e. Ils ne pourront donc atteindre ni dépasser la valeur s; celle-ci étant arbitraire, ils seront nécessairement nuls.

On verra de même que |Y — y\ et |Z — z\ seront nuls le long d'un second arc de même longueur que le précédent et lui faisant suite; ils seront donc nuls tant que \x — Xo\ sera <|p — 7]|, et enfin, Tj étant arbitraire, tant que \x — ^oi sera << p.

85. Nous avons établi, par ce qui précède, qu'il existe un système unique d'intégrales y, z satisfaisant aux conditions du problème. Elles sont données sous forme de séries, dont la convergence est assurée dans un cercle G de ra^on p décrit autour du point Xq.

Si la variable x sort de ce cercle, on pourra déterminer leur valeur de proche en proche par le procédé déjà employé au Tome I pour suivre la marche d'une fonction analytique.

Supposons que x décrive une ligne L issue du point Xq] soient x^ un point de cette ligne, encore situé à l'intérieur de G; jKi, ^i les valeurs correspondantes de y, z. On aura |^<— ^o|</^|jKi— ro|<^^|^»— ^o|</'. Le point (^<,jK<,iji) sera donc un point ordinaire pour /, f\ et les équations différentielles admettront un système de solutions se réduisant à yi, Z{ pour x — x^. Ges solutions seront des séries de puissances de x — x^\ soit G, leur cercle de convergence certaine; pi son rayon.

Ges éléments de fonction analytique ayant pour centre x^ seront contigus à ceux qui avaient pour centre Xq et permettront de déterminer les valeurs dejK, ^, de .^4 à ^27 ^2 étant un point choisi à volonté sur L, au delà de x^ , mais encore à l'intérieur de Gi.

Au delà de ^2? l'intégrale sera représentée par de nouveaux éléments de fonctions analytiques ayant leur centre en Xi-

En continuant ainsi, on finira par arriver jusqu'à l'extrémité de la ligne L, à moins que les rayons des cercles successifs p, p,, p2, . . ne forment une suite convergente; auquel cas il pourrait arriver que le procédé ne permette de suivre la marche des intégrales que jusqu'à un point déterminé x^ de la ligne L.

Lorsque x se rapprochera de x^ en suivant la ligne Ij, diverses circonstances pouvant se présenter :

1^ L'une au moins des deux quantités j^, z ne tendra vers aucune limite, ou tendra vers l'infini;

2° Elles tendront toutes deux vers des limites finies jk^ z\ Dans ce cas (x' ^ y' , z') sera un point critique pour l'une au moins des deux fonctions /, f^ . En effet, si ce point était ordinaire, il lui correspondrait un certain rayon de convergence p'. Pour un point x,i infiniment voisin de x^, pris sur la ligne L, y, z prendraient des valeurs y,i, Zn, infiniment voisines de y', z\ et le rayon de convergence p„, correspondant au point {^Xn-, yn, ^n), serait infiniment voisin de p', au lieu d'être infiniment petit. On pourrait donc, au moyen du cercle C/^, déterminer les valeurs de y^ z au delà du point x' .

Le procédé indiqué ci-dessus pour suivre la marche des intégrales est peu satisfaisant au point de vue pratique. En effet, chacune des valeurs successivesjKi , ^^,y2^ ^2^ - - - exige, pour sa détermination, un développement en série, puis la sommation de cette série, opération compliquée et dont le résultat ne peut en général s'obtenir exactement. Or chaque erreur commise influe sur toute la suite des calculs. Il faudra donc opérer avec une très grande approximation, sous peine d'altérer beaucoup le résultat final.

86. La méthode dite des quadratures, que nous allons exposer, est sujette à ce même inconvénient, mais donne

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Io3

lieu à des calculs plus faciles. Voici en quoi elle consiste.

Marquons sur la ligne L une série de points ^,, ^25 ' • ', ^m intermédiaires entre x^ et X, et suffisamment voisins les uns des autres; puis, déterminons deux séries de quantités >"nJ2^ • • -^y;,.. Y'el^;, ^;, .. ., c;,„ Z^par Ics relations

^ y m'^^^ jK^iniymi ^ m) \^ ^m)j

Y' et U seront des valeurs approchées de Y, Z, et l'erreur commise tendra vers zéro à mesure que Ton multipliera les points intermédiaires.

87. Nous justifierons cette méthode en cherchant une limite supérieure du module de l'erreur commise.

Soient \ un point quelconque de la ligne L; Vj, Ç les valeurs coi-respondantes des intégrales.

On peut déterminer par hypothèse une quantité /•, telle que /' et f^ soient développables suivant les puissances de X — \i y — '^15 ^ — Ç tant que les modules de ces quantités ne surpassent pas /•. Ce nombre r est une fonction de ç.

Si \ se déplace sur L d'une manière continue, yj, X^ variant aussi d'une manière continue, il en sera évidemment de même de /•, lequel admettra un minimum différent de zéro. Soit R un nombre inférieur à ce minimum.

Si le point (^, jk, ^) se déplace, de telle sorte qu'on ait constamment sur la ligne L un point (?, 'f\^ Ç) fixe ou variable pour lequel on ait

le poini (^, y, ^) décrira un ensemble borné et parfait où les fonctions /el>yi restent finies et continues. Leur module ne pourra donc surpasser un nombre fixe ^..

D'ailleurs, si j^r — i|, \y — 'r\\^ \z — X^\ sont < R — 5,

0 désignant un nombre fixe, on aura N étant égal à 4^-^.

Cela posé, supposons les intervalles^o-^n • • • 7 ^k^k+i, • • • , tous <; )^ et cherchons une limite supérieure des modules des différences entre les valeurs y^^ Zi, . . . , jka, ^k, . . • , Y, Z des intégrales aux points ^<, . . . , Xk^ X et les valeurs approchées y\ , s', , . . . , Y', Z'. On a

jA+i — /A = / /( ■3:', y, - ) ^^,

d'où

[/(^. 7> -) —fi^k, fky -;,)]^^.

Si nous supposons \y\ — j"a|, |s)^ — Zk\ moindres que R — o, le module de la quantité entre parenthèses ne pourra surpasser

(1^ — Xk\ étant << ).); on aura donc

Ij/c+i-/aI<|71--/a-|

On a une inégalité semblable pour z\^^ — z\..

Ajoutons ces deux relations, et posons pour abréger

Nous obtiendrons la relation

TT -XT r ^N , ,1 ^T —\Xk+'i-Xk\ ^^ 77-<

s désignant la longueur de la ligne L.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Io5

D'ailleurs, au point œ^, on a y^=yQj z'q = Zq, d'où Uq = "X.

Chacune des quantités Ua et a fortiori chacune des quantités l/k—yk]^ l^-'k — ^f^l ^^ ^^^^^^ |Y'— Y|, \U—Z\ seront donc moindres que

si les précédentes sont moindres que R — ô.

Cette condition sera satisfaite, si l'on prend \ assez petit pour satisfaire à l'inégalité

La limite d'erreur ainsi trouvée tend bien vers zéro avec )., comme nous voulions l'établir. La formule montre toutefois l'imperfection de la méthode, car l'arc s figure sous une exponentielle dans l'expression de l'erreur à craindre. Pour peu que le champ d'intégration soit étendu, il sera difficile de multiplier assez les points de division pour obtenir une approximation suffisante.

88. On a souvent avantage à transformer les équations différentielles proposées par un changement de variables, avant de recourir aux quadratures. Ce procédé constitue la méthode de la variation des constantes, dont nous allons indiquer le principe.

Soient

(8) ^:=M4-aN, ^ = M'4-aN'

deux équations différentielles simultanées, où M, M', N, N^ sont des fonctions de x, y, z et a une constante très petite. Proposons-nous de trouver un système d'intégrales j', z se réduisant àyo? ^o pour x ^= Xq.

Si l'on négbgeait les termes en a, les équations se réduiraient à

THF.

TTNIVERSI

Supposons qu'on puisse déterminer, par un procédé quelconque une intégrale générale de ces deux équations, représentée par deux équations

(ro) j=z/(^,c,c'), z — <^{œ,c,c').

Le système d'intégrales particulières des équations (9) qui, pour a: = ^o? se réduisent àjKo) ^0 sera fourni par ces équations, en y donnant à c, c' les valeurs Cq, c'^ qui se déduisent des équations

Le système des intégrales particulières des équations (8) qu'on demande de trouver pourra de même être représenté par les équations (10), à la condition d'y considérer c, c' non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles inconnues à déterminer en fonction de x. Ces nouvelles variables devront : 1° se réduire à Co, c^ pour ^ = -^^o j 2° satisfaire aux équations différentielles qu'on obtient en substituant dans les

équations (8), à la place àey^ ^'77^' TT ■ ^^"^'^ valeurs

y — f{œ,c,c'), z:==zo{x,c,c'),

ày __ d£ df dc^ ^ f^

dx dx de dx de' dx '

dz __ ào à'^ de do de'

dx ÔJ^ de dx de' dx '

Les équations ainsi obtenues, résolues par rapport à -7-,

-j-i prendront la forme suivante

où P, Q, P', Q' sont des fonctions de x, c, c'.

Mais, si a était nul, c et c' seraient constants et leurs déri-

dc de' vccs -7-> -j— se réduiraient à zéro. Donc P et P' sont nuls, et

CLJO CtJO

les équations précédentes se réduisent à la forme plus simple

de

n en déduit

c — Co = a / Q dx,

dx.

Les fonctions Q et Q' contiennent, outre la variable d'intégration x^ les fonctions inconnues c, d . Mais les déri-

dc de' (. , . ,

vees -T-? -7- j contenant en lacteur la quantité a supposée

très petite, sont elles-mêmes très petites ; donc c, c varient lentement, et, si le champ d'intégration n'est pas trop étendu, on pourra, sans altérer sensiblement les fonctions Q, Q', y remplacer les variables c, c' par leurs valeurs initiales Cc, c'^. On n'aura plus alors qu'à intégrer une fonction de x seul, ce qui est facile.

Si le résultat obtenu n'est pas jugé assez exact, on pourra remplacer c et c' dans les fonctions Q et Q' par les valeurs fournies par cette preaiière approximation, et recommencer l'intégration, et ainsi de suite.

89. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que de calculer les valeurs numériques des fonctions y, z pour une valeur donnée de la variable. Il nous reste à tirer les conséquences des résultats trouvés au point de vue des propriétés analytiques de ces fonctions intégrales.

Leurs valeurs finales Y, Z en un point quelconque X dépendent, d'après notre mode de procéder, non seulement de la position de ce point, mais de la ligne L par laquelle la variable x se rend de Xq à X. Toutefois, si cette ligne est telle que la valeur x de la variable indépendante en chacun de ses points, associée aux valeurs correspondantes jk, z des fonctions intégrales, donne un point ordinaire des fonctions/ et/",, on pourra lui faire subir une déformation infiniment petite quelconque sans altérer les valeurs finales Y et Z.

En effet, chacun de ces points x est le centre d'un cercle dans l'intérieur duquel y ^\ z sont des fonctions monodromes de x. Le rayon R de ce cercle, variant d'une manière continue quand x se déplace sur L et n'étant jamais nul, ne pourra s'abaisser au-dessous d'un minimum fixe R'. Si l'on trace autour de chacun des points de L un cercle de rayon R', ces cercles recouvriront une région du plan dans l'intérieur de laquelle jr et z seront évidemment monodromes. On n'altérera donc pas leurs valeurs finales Y, Z, si l'on remplace la ligne d'intégration L par une autre ligne quelconque U ne sortant pas de cette région.

On pourra ainsi, sans altérer Y, Z, déformer la ligne L d'une façon continue, aussi longtemps que les valeurs simultanées de x^ y, z correspondant à chacun de ses points seront un point ordinaire de y* et de/") .Mais, si L prend dans le cours des déformations une forme telle qu'en un de ses points X, y, z soient un système de valeurs critique pour l'une au moins des deux fonctions /"ety,, le raisonnement se trouvera en défaut et il pourra même arriver que dans cette position de la ligne d'intégration Y, Z ne puissent plus être calculés par nos procédés.

Les points pour lesquels les valeurs simultanées de x^y, z forment un système critique pour /ou y, pourront donc être (et seront le plus souvent) des points critiques pour les fonctions intégrales jK, z.

90. Pour obtenir les éléments nécessaires à l'étude approfondie des fonctions intégrales, il resterait : i° à déterminer la position de leurs points critiques; 2° à étudier les variations de ces fonctions aux environs de ces points critiques.

Le premier de ces deux problèmes est malheureusement inabordable dans la plupart des cas; car jr et 3 figurant, ainsi que X, dans la définition de ces points, on n'a, en général, aucune méthode pour fixer leur position a prioj^i. On ne pourra les connaître qu'après avoir achevé l'étude des intégrales, qu'ils auraient dû servir à faciliter. Il y a là un cercle

vicieux, qui constitue la principale difficulté du problème de l'intégration.

Suivant les circonstances, ces points seront isolés ou non ; ils pourront même constituer des lignes entières, auquel cas les fonctions y, z n'auraient une existence définie que dans la région du plan que l'on peut atteindre, en partant du point initial Xq^ sans traverser ces lignes critiques.

91. Il existe toutefois un cas extrêmement important, où l'on peut déterminer d'avance la position des points critiques : c'est celui où les seconds membres des équations différentielles sont linéaires par rapport aux fonctions inconnues.

Considérons, pour fixer les idées, un système de deux équations de ce genre

(II) ^Z=:^A7-f-B.^-hG, ^ z=A'/ + B'^H-G',

où A, B, . . . , G' sont des fonctions de x. Soit Xq un point ordinaire de ces fonctions; on aura, tant que le module de X — Xq r\Q surpasse pas une quantité fixe r, des développements convergents

A =\ ay,{x — ^0)^,

G=^Ca(^-^or, )

les coefficients ^a, ^a, • • • ayant pour limite supérieure de leurs modules une expression de la forme — • Cherchons un système d'intégrales

y -- y^^\dx{x — X^)^, Z — Zq ^\ei{x~Xo)'^,

qui, pour x = Xo^ se réduisent à jKo> ^o- On déterminera les coefficients d, e en substituant ces valeurs dans les équations

différentielles. Il viendra, en égalant les coefficients des termes en (^ — ^o^^j

(X -+- i)<ix-H, =z a^di-h aidi^i -h. . .-h a\^^d^ -\- bQe\-\- . , ,

+ Z>x, ei + «x/o + '^X-o + Cl, (X 4- i)ex+i = < ^x + . . • H- 4-1 ^A + ^0 ^A ^- . . .

Ces formules récurrentes donneront, pour les coefficients d^ e^ des expressions de la forme

où Fx et ^\ sont des polynômes linéaires et homogènes par rapport à^o^ ^o et aux coefficients c, c', les coefficients de chacune de ces quantités étant des polynômes à coefficients positifs, formés avec les a, 6, a', b'.

Nous obtenons ainsi cet important résultat, que les intégrales cherchées y, z dépendent linéairement de y^y Zq.

92. Cherchons le rayon de convergence certaine de ces séries. Le cas le plus défavorable est évidemment celui où les coefficients a, ^, c, a', b', c' sont remplacés par les limites supérieures de leurs modules, et j'o, ^o par une limite supérieure m de leur module. Dans cette hypothèse, les équations diflerentielles se réduisent à

— irO'H-- + 0.

dz

dx ~

' dx

On en déduit

dx X -

et en intégrant, après séparation des variables.

log-^ =— M/'iog

Cette fonction n'a qu'un point critique, x ^= Xq -h r. La convergence est donc assurée dans tout le cercle de rajon /-.

Donc, quels que soient jKo? ^o, les intégrales jk, ^ seront continues et monodromes dans toute région du plan où les fonctions A, B, C, A', B', G' sont elles-mêmes continues et monodromes, et ne pourront avoir d'autres points critiques que ceux de ces fonctions. Encore n'est-il pas certain que ces derniers points soient critiques pour y et z.

93. Les exemples suivants, que nous empruntons à Briot et Bouquet, montrent comment on peut effectuer l'étude des intégrales, aux environs de leurs points critiques.

Soit l'équation différentielle

dy 1

cU- J\x, y)

f{oc^y) s'annulant pour ^ = o, jv' = o et admettant ces valeurs comme point ordinaire.

Cherchons celles de ses intégrales qui s'annulent pour ^ = o.

Si nous considérons x comme fonction de j^, il viendra

Cette équation admet une seule intégrale monodrome x^ s'annulant pour jk = o. Sa dérivée s'annulant également, elle sera développable en une série de la forme