Les intégrales jK /A sont donc de la forme

Mais les constantes a, h et les fonctions elliptiques H ne sont pas encore connues. 11 s'agit de les déterminer.

Le procédé qui nous a permis de reconnaître que l'intégrale générale était uniforme nous a fourni la position de ses pôles c, d^ ... et leurs ordres de multiplicité y, S, ....

D'autre part, la fonction a un seul pôle u^= — a (lequel

disparaîtra même si a =nr o, auquel cas G(w) se réduit à une exponentielle).

Enfin les fonctions tji,, u.'^ qui figurent dans les polynômes P admettent le pôle simple u = o.

Les fonctions

auront donc les pôles c, <:/,... et le pôle inconnu — a, avec des ordres de multiplicité au plus égaux à y, ù, . . ., i; et les fonctions

pourront admettre, en outre, le pôle ?/ = o, avec un ordre de multiplicité au plus égal à ï (car si cela est vrai pour les lonctions dont le premier indice est *< i, «^ = o sera d'un

ordre de multiplicité / pour H/,„, et d'ordre i—l pour le polynôme Pj-^, qui est d'ordre i — l en [i-i, [i.'J.

On aura donc, par la décomposition en fractions simples,

H,^= c;,r(^.-c) + ...4-cr,.j;T-H"-e)

-f- J)],Mi^ --- c) + . . . 4- \^%l^-\u -^- d) -h

svec la condition

Q,-|-Dî^-f....-|-A;^=:0.

Les termes de la dernière ligne peuvent être transformés comme il suit.

Posons

On aura

k^u -t- a) -^ Kur-^ A/;,[C( .. H- a) - ^a] + hu,

L 2 pu --p« J

Par suite de cette transformation, la constante inconnue a ne figurera pins dans Y\ik que dans les combinaisons pa^ p'ct-

227. 11 ne reste plus d'inconnu que les constantes «, 6, C^-^, ..., L/y^. On les obtiendra parla méthode des coefficients indéterminés, en substituant les valeurs ci-dessus des intégrales j)//^ dans l'équation différentielle.

Clierclions d'abord celles de ces intégrales

/i/,-:--G(m)Hi/„

dont le premier indice est i et qui, par suite, sont doublement périodiques de seconde espèce. Il en existe toujours, comme nous l'avons vu.

288 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITlll!: II.

On a, en prenant la dérivée logarithmique de G(f7)

= Kiii -^ a)— H^u -{- b,

.ra-i^ii---^-^-uA

- pu~pa

C'est une fonction elliptique où a et 6 ne figurent que dans les combinaisons Ça 4- 6 = 6', pa et p'a. Désignons-la, pour abréger, par I.

On aura

i^ /u = gh;,,, + G'ii,,= g(h;, + m,,),

^ j',* =. G(H'„, + m,,)' + G'(H;, -i- IH„) -.--G[(H'„-:-IH,,)'+I(H\,-hIII,,)].

On voit donc que le résultat R de la substitution dej ,>t dans l'équation différentielle est de la forme