Pour cela considérons l'expression

çp ( «/ ) = mu -h jn' t li.

Lorsque u s'accroît de 20^1 ou de 20)0, elle subit des accroissements

Acp -T-z 2 Wi/72 -I- 2TQ1 m' , A'cp r— 2a)2/n -;- 2r^2 ^^' '

pourra obtenir :

i" Une fonction ^-^--^ m^u -y- ni^'C^u dont les accroissements respectifs A|jl,, A'jjl, soient 1 et o ;

2° Une fonction [ji'^= Wg M -f- m'g Çi^ dont les accroissements Aa', , A'jJi'^ soient o et i.

Posons plus généralement

H-l(lJ-l-

-l)...(fX,— i-4-

- l). . .(tJ.'^— iH-

Nous aurons évidemment

(J.,([J.l— l). . .(fJ-i— i-f-l)

\ av,-=o, a'[j.;.= [j.;..j,

et ces formules subsisteront pour 1=1, si l'on convient de poser

Tout polynôme entier P en ^4, u'^, considéré comme fonction de [ji'^,peutévidemment se mettre d'une seule manière sous la forme

AoiJ-o-;- Ai|Ji4-. . .,

les A. étant des poljnômes en ^', dont chacun pourra à son tour se mettre d'une seule manière sous la forme

KK-^ a; ;;.;-!-.. ..

Le polynôme P pourra donc se mettre d'une seule manière, sous la forme

225. Ces préliminaires posés, nous allons établir qu'il existe des fonctions ^/^^ qui subissent respectivement les transformations (t), (':') lorsque z^ augmente de 2to, ou de 2Cl)o; et qu'elles ont pour forme générale

les H désignant des fonctions elliptiques arbitraires et les Pj^'^ des polynômes d'ordre i — / en [Ji,, \k\ et entièrement déterminés; la sommation s'étendant d'aillem's à toutes les valeurs de /inférieur à i et aux diverses valeurs de ni correspondantes à chacune d'elles.

On voit tout d'abord que les fonctions .z^i/c, ..., restant inaltérées, sont des fonctions elliptiques, icUes que H,;^

Supposons donc qu'on ait construit, de proche en proche, toutes celles des fonctions xij^, dont le premier indice est moindre que X, et qu'elles aient la forme annoncée. Nous aurons, pour continuer l'opération, à construire des fonctions x\k q^e le changement de u en u -f- aw, ou u -^ itjy.y transforme respectivement en

Substituons aux fonctions xth, qui figurent dans X^/f, X^/, leurs valeurs déjà déterminées; il viendra

QuS Qï" étant des polynômes en p.,, tj.'^ , lesquels dépendent linéairement des coefficients de Xx^, XJ/, ; la sommation s'étendant d'ailleurs à tous les systèmes de valeurs de /, jn pour lesquels l <i\.

Les substitutions tt' et t't transforment respectivement xu en

^\k -+- XxA- -1- XxA- 4- S' Xxk et en

o^XxA désignant l'accroissement que subit Xxa par la substitution t'; SX)/, celui que subit X^a par la substitution t.

D'ailleurs en appliquant ces substitutions aux fonctions déjà construites, ou aux quantités X)/,, Xx;? qui en sont des fonctions linéaires, on obtient, par hypothèse, le même résultat qu'en changeant u en u -I- 2 w^ ou u -|- 2 coo ; on aura donc

0'Xx,:r.A'Xx,.:-:.A'SQ;-H,,,,

EQUATIONS LINÉAIRES. 285

Les fonctions elliptiques Uim étant arbitraires, l'égalité de ces deux expressions exigera que l'on ait pour tout système de valeurs de l, m où /<")v,

Or si Ton met les polynômes Q>"', Qu'^ sons la forme on aura, en vertu des relations (S),

. A' Q(-:r. SB,,- fx, [..;„..,,

Ces deux expressions devant être identiques, on aura les équations de condition

(9) B,i,,'— B',,Li.

Gela posé, on pourra déterminer un polynôme d'ordre X ^ / en jA,, Li',,

tel que ses variations

se réduisent respectivement à Ql^j Qx/t'^ 5 car ces deux identifications donnent les équations de condition

qui sont compatibles, en vertu des relations (9). Posons maintenant

^x^==nA--^2:,,,„Pf;MI,,,.

Le changement de z^ en w + 2 Wi accroîtra cette expression de

z=:Arx;t4-X),

)Ar

et celai de u en u-\- itù^ l'accroîtra de même de A'^xa-j-X),, . Pour que la fonction .x>/v satisfasse aux conditions requises, il sera donc nécessaire et suffisant que Ton ait

Ac^XA-r-O, AVu-^O,

ce qui exprime que v\k est une fonction elliptique Hxa, d'ailleurs arbitraire.