SU

Leur combinaison donne l'intégrale ~- -^ dont il est aisé

de trouver la limite pour e = o.

On a, en effet,

Ç ( COl -t- ô ) = Ç 0)i -f- £ ^' COj H- . . .

c ( « -h toi 4- s) = cr( « + (Oi ) 4- ea' ( ^^ -j- cOi ) + . . .

= a( // + to j [i -^ £^( ^^ 4- a)j ) H- . . . ],

d'où

.To s'obtiendra en changeant le siane de b: — aura évi-

déminent pour limite

au Ce sera la seconde solution cherchée.

231. Cherchons encore dans quel cas l'équation de Lamé admet comme intégrale une fonction elliptique M(u) aux périodes 4^i ^t 4^0.

L'équation n'étant pas altérée par le changement de u en — u, u + 2to, , u -i- 2 0)2, admettra aussi comme solution les fonctions elliptiques M(~ u), M(w4-2a)i), M{u -h im^). Mais ces nouvelles intégrales ne peuvent être linéairement distinctes de M{u); car l'intégrale générale de l'équation ne peut être elliptique, puisque, parmi les intégrales particulières, il en est une qui est une fonction entière s'annulant pour u =^ o.

On aura donc

M{~~ u) = cM{u), M(«-i- 2Wi) — c,M(m), M ( w + 2 «2 ) — C2 M ( w ) ,

c. Cl, C2 étant des constantes. D'ailleurs, en changeant encore une fois u en — u, u -j- awi ou u -r- 2(02, on voit qu'on aura