C:=-lfcl,C4=dzi,C2=±I

On pourra donc écrire

M(«)— NP, N désignant l'une des huit expressions

(dont le choix dépendra des signes de c, c<, Co) et Pune fonction elliptique paire, aux périodes liù^ et 2032, et n'ajantde pôle que pour u=zo : ce sera donc un poljnôme entier en pu.

ÉQUATIONS LINÉAIRES. SgS

Il est aisé de former les dérivées successives d'une expression de cette forme. On a, en effet,

<7|o u^jyu — eoLy 2 a^o u a^o u a^o u ^- — p' «,

€t, par SLiile,

n désignant un polynôme entier en ?/, et N^ le produit complémentaire de ]N formé J3ar ceux des facteurs cr^o « que N ne contient pas.

On aura, par suite,

du du

^ (n'p -■- 2nP0Ni -^ NjPi,

P< étant un poljnôme en pu.

On trouvera de même

P2 étant encore un polynôme en pu.

Le résultat de la substitution de NP dans l'équation de Lamé sera donc de la forme

"^^ - [n{n H- i) pu -f- h] NP r= NQ,

où Q est un polynôme entier en pu qui s'annulera identiquement si NP est une solution.

Soit

et soit k le nombre des facteurs de N. Le premier membre sera infini d'ordre k -\- 2 [x -f- 2 pour u = o\\\ en sera de même du second. Donc Q est un polynôme de degré [J. + i , tel que

La comparaison des valeurs principales donne immé-

296 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — CHAPITRE lî.

diatemcnt

A;j,+i =3 [{k-À- 2 li. -h i) {k -h 2 10.) — n{n -h i)] a^.

Les coefficients suivants sont évidemment de la forme

AjjL = Bj;, — /la^, . . . , Ao = Bo — ha^,

Bfj., ..., Bo étant des fonctions linéaires et homogènes en a^^, . . ., cIq.

L'équation

A{j,+, — o donnera

k -h 2ix.z=i n.

Les autres équations

Ajj, — o, . . . , Ao = o

fourniront ensuite les rapports des inconnues «y., . . , , Hq si leur déterminant est nul, ce qui donnera pour h une équation de decrré a -h i .

Gela posé, si n est un nombre pair 2 m, on pourra supposer k = o^ u. = m, ce qui donnera m -h i valeurs admissibles pour h.

On pourra encore poser k = '2^ iK=zm — ij et l'on obtiendra m valeurs pour h; soit 3m valeurs en prenant successivement pour N les trois produits de deux facteurs qu'on peut former avec les ^aoi^-

Le nombre total des valeurs de h, pour lesquelles l'équation admet une solution de la forme désirée, sera donc