Si C, était définie comme intersection des surfaces
il faudrait, pour appliquer ces formules, concevoir qu'on prenne x = f, y el z seraient alors des fonctions implicites de ce paramètre, définies par les équations $ = o, <ï>^ = o. On calculera alors par les méthodes connues, pour les égaler à zéro, les dérivées successives de la fonction
W{t)^W{x)=zF{x,y,z)
par rapport à la variable indépendante x.
426. Contact de deux courbes gauches G et C,. — Soient F(^,y, ^) = o, cj'(^,y, s) -^ o les équations de G; {x,y, z), {x^,y^,z^), (^, + y, >'< + ,3, c, + y) les coordonnées des points P, Q,, Q; on aura
0=cJ'(^i-f-a, yi-l-P, Si + y)
S'il y a contact d'ordre /?, a, [3, y et, par suite, F(.ri, j^, , g,), rf(jr<,y<, s,) seront d'ordre /i -f- i au moins. Réciproquement, supposons que
F(.ri,r,,3i) et J (./-,, ^7',, .-j)
soient d'ordre Ji -\~ \ .
Pour .^1 r= x^ y^ = y^ Zi = Zj cf.=z fj r=: v = o Ics fouctions
s'annulent, et leurs dérivées partielles, par rapport à a, ''fi, v, se réduisent à
oF
ÔF
âz^
dS W
(Jz '
Le point P étant simple sur G, fun des trois déterminants
r , 1 ' ■ ' 1 ^F Ori âri ôF
tormes avec ces dérivées, par exemple , sera^o
' '- ^ ôx ôy ôx oy ^
Les équations (5) détermineront donc a, [j en ("onction implicite de ^1 , jK< , ^1 , y.
Associons à Qi le point Q obtenu en prenant pour v un infiniment petit quelconque d'ordre ^ + i; a et ^ seront du même ordre au moins 5 car la résolution des équations (5) les donne sous forme de fractions, dont le numérateur est d'ordre /z -j- i , tandis que le dénominateur Ailb — Bo^l», ayant J. — I.
4l8 PREMIÈRE PARTIE. — Cil APURE lY.
pour limite
dx ây ôx ôy
n'est pas infiniment petit. Donc | a | + | [^ | -h i y ] sera d'ordre n 4- i, et il j aura contact d'ordre n.
La condition nécessaire et suffisante pour un contact d'ordre n est ainsi que Yix^.y^^ 3,) et ^(^i,J'i,^i) soient d'ordre /i h- i.
Soient maintenant
les équations de la courbe C|. On verra, comme précédemment, que [PQi] est de l'ordre de dt^ et qu'en posant
les conditions du contact seront
i ^F(0=--^F'(O=... ■r.iF'HO-^o,
i!27. Si les deux courbes étaient données par les équations
y=/ (x), 3 = cp {x)
et
y~J\{x), 3 = 'fi(j;),
en prenant. ^' pour variable indépendante, ces équations prendraient la forme svmétrique |
4;28. Enfin, si elles étaient définies par les équations
et
Fi{x,y, z) .= o, 'ï»i(^r,/, ^) = o,
on n'aurait, pour obtenir les conditions du contact, qu'à
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. ^\iC)
égaler les valeurs de y, z et de leurs n premières dérivées dans les deux courbes.
I 429. Contact de deux surfaces S <?^ S|. — Soient ■ F(^,jK, 5)=:o l'équation de S; {x^y^z) et {x^,y^^z^) les
coordonnées de P et de Q). On voit aisément que la condi- I , tion d'un contact d'ordre n est que F(^, ,y, , z^) soit d'ordre /i
par rapport à [PQi].
Cela posé, soient
œ = ^{t, u), r=:(pi(^, a), z — o,^{t, a)
les équations de S, ; (^, u) et {t-{-dt, u -t- du) les valeurs des paramètres aux points P et Qi; on aura
/ Xi — ^ = A dt -f- B du,
(8) K,-y^\,dt-^B,du,
{ z^ —z =zXuit i-B,^du,
A, B, . . . étant des quantités variables qui ont pour limites
dt du
On voit aisément que [PQi] est de l'ordre de | «f ^ | + | du\. Soit, en effet, M une quantité positive plus grande que
dt
d'f du
-; on aura, pour toutes les valeurs suffisamment petites de t et de u,
donc I ^, — x\, \yi—y\, 1^1 — ^1 seront moindres que M ] dt \ -\-M\du\-^ et, en les ajoutant, il viendra
[PQx] < oM{\dt\-f~\ du \).
Mais, d'autre part, P étant un point simple de S, , le déterminant
do dz>i d'j?i do
dt du dt du
(ou, à son défaut, l'un de ses deux homologues) sera ^o. Or les deux premières équations (8)^ résolues par rapport à dt et du, donneront
(AB,-BAO^^ = B,(^,-^)-B(/,-y), (ABi — BAi)^«=— Ai(^i— .^) + A(/i — j);
d'où
|AB,-BA,|(i^^| + l^«|)<M(|^i-^|+|j-,-j|)
<M[PQi].
D'ailleurs AB, — BA a pour limite le déterminant D ; donc en désignant par A une quantité quelconque un peu plus petite que | D |, on aura pour toutes les valeurs suffisamment petites de dt el du
\dt\ + \du\ = ^[pq,].
Le rapport de [PQi] à | «^^ | + | (iw | étant ainsi compris entre deux limites fixes différentes de zéro, ces deux quantités sont du même ordre.
Si donc nous posons
la condition nécessaire et suffisante pour le contact d'ordre n sera que l'expression
F(.r,,j,,^i) =:W{t-{-dt, u-hdu)
= ^'{t, «) + -^ dl^ —- du + . . .
ot ou
soit d'ordre n + i par rapport 'd\dt\-{- \du\.
430. Cela revient à dire que la fc notion W et ses dérivées partielles j usqiC à V ordre n inclusivement sont toutes nulles.
En effet, si ces dt'rivées sont nulles, W{t -\- dt^ u 4- du)
se réduira au reste de la série de Tajlor L / (j 0)« / ^^ -| ^^ j W{t-h^ dt, a ~\- e du) d^.
Soit N une constante plus grande que les modules des déri-
vées partielles d'ordre 7^ + i , , ^^^i ? •••? y-T^^ • Lorsque
dt et du seront assez petits, le module de l'expression précédente sera moindre que
dt\-\-\ du 1)'^+' N ^Ô --= -^, [| ^/ I 4- 1 du !]''-
L'ordre du contact sera donc au moins égal à n.
Il ne pourra d'ailleurs surpasser n, si les dérivées d'ordre n H- I ne s'annulent pas simultanément. En effet, si dans l'expression de W {t -\- dt^ u -h du) nous négligeons les termes dépendant des dérivées d'ordre >> n -j- i , et qui représentent, comme on vient de le voir, un infiniment petit d'ordre >> n -+- I , on aura approximativement
[dt-r^^+du-] ^{t,u)
W{t-\-dt, U-^du):= ^^—^ "^ ^ ,
