I • . , -MF

au mojns de ces deux quantités, par exemple — sera ^o.

L'équation (i) définit donc une fonction implicite a des variables x^^ y^^ p, laquelle s'annule pour x^ = x^ jKi =J"> ^ = o et admet des dérivées partielles; elle sera donc infiniment petite lorsque ^, — x^ y^ — y^ |3 seront infiniment

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 4l3

petits. Si a est défini de la sorte, le point Q = (^, + a,y,-|- [3) s era sur la courbe F de quelque manière qu'on ait choisi ^, et pourra être associé au point Q< .

Prenons pour ^ un infiniment petit quelconque d'ordre n -\- I par rapport à \x^ — x\-\- \y^ — y\\ ¥{x^ , y^ ) est du même ordre, par hypothèse ; enfin x^ — x^ y^ — y, a, ^3 étant

dx

infiniment petits, A et B tendront vers les limites fixes -^-i — j dont la première n'est pas nulle. La quantité

F(^„.ri) + B:

sera donc un infiniment petit d'ordre n-\-\ au moins, et I a I H- I p I sera d'ordre n-\-\. Il y a donc bien contact d'ordre n.

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour un contact d'ordre n est que F(^,,y<) soit d^ ordre n-^\ par rapport à [PQ] = ! ^i — ^ I + |jKi — y I-

421. Cela posé, admettons d'abord que la seconde courbe F< soit définie par les équations

Soient t ç^l t -\- dt les valeurs du paramètre qui correspondent respectivement aux points P = {^x,y) et Q, = (^X\ , y\ ). On aura en désignant par ^', x^' ^ ..., etJK^y^ ••• les dérivées successives de cp(^) et de cpi (^)

, , ,, dt'

x^ — X ^=. x' dt -\- x" — • H- . . . ,

? , 1 tf dt'

li-y^y dt + y" -^ +....

Donc x^ — x-i fh — y sont du premier ordre au moins par rapport à dt. D'ailleurs, l'une au moins de ces quantités sera efTectivement du premier ordre; car, P étant un point simple

4l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

sur F<, x' el y ne peuvent être nuls à la fois. Donc [PQi] sera du même ordre que dt.

Posons d'autre part

on aura

Cette quantité devant être d'ordre /i + i , on aura, pour conditions du contact demandé, les relations

422. Ces conditions prennent une forme plus symétrique si l'on suppose les deux courbes données sous la forme

y—f{x) et y—f,{x),

lesquelles équivalent, pour la première, à

et pour la seconde, à

On aura alors

et les équations (2) deviendront

(3) A{^)=A^), /;(^)==/n^), ..., ni^)-=ri^)'

Enfin, si les deux courbes sont données sous la forme

implicite

F{x,y)=o et Fi(^,y)=o,

on n'aura qu'à déterminer l'ordonnée y et ses n premières dérivées dans la première courbe, au moyen des équations

âx à Y '

et, dans la seconde, par les équations

Les valeurs de ces quantités devant, comme on vient de le voir, être les mêmes dans les deux courbes, on n'aura qu'à les égaler pour obtenir les équations de condition cherchées.

423. Contact d'une surface S avec une courbe Ci- — Soient F(^, j-, ^) = o l'équation de S ; x^ y^ z les coordonnées du point P; x^^ y^, z^ celles de Q, ; x^-\- a, y^ + [^, z^ H- 1 celles de Q. On aura

.,. j Or^:F(^, + a, ji4- p, ^1 + y)

A, b, L tendant vers -r— , —, -r^ lorsque x^^ jKi, s<, a, p, y

tendent vers x^ y, z, o, o, o.

S'il y a contact d'ordre n, ol^ (3, y et, par suite, F(Xi,yi , Gj) seront d'ordre ai H- i au moins. Réciproquement, supposons que F{Xi , yi , Zi) soit d'ordre ai + i , il y aura contact d'ordre n. En effet, pour Xi= x, y^ = y^ z^^z^ a = [3 =:y = o, la fonction F(Xi-{-oL^ jKi H- ^j -^i+T) s'annule et ses dérivées partielles, par rapport à a, p, y, se réduisent à

-T—) -p) -^7' Le point F étant simple sur r, une au moins

/ ^^ ""•. • . n àF > ,,.

de ces dernières quantités, telle que -r— ? sera ^o. L équation (4) définira don c a en fonction implicite de x^ , y^ , Zi ,

Associons à Qi le point Q = (.r. H- a, jKi -|- p, ^i -f- y), ^, y étant deux infiniment petits quelconques d'ordre /« -j- i ;

aL = — ^ ^ ; ! sera du même ordre au moins,

dF car A, tendant vers -j- , n'est pas infiniment petit. Donc

I a I + I [i I + I y I sera d'ordre /i 4- i .

4l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

Donc, ici encore, la condition nécessaire et suffisante pour le contact est que F (^, , y, , Zi) soit d'ordre n-{- i.

424. Cela posé, soient ^ = cp(^), y = cp< (^), ^ = 'f2(^) les équations de la courbe Ci .

Soient t, t -^ dt les valeurs du paramètre auxX points P et Qi , on aura

jCx — xzzz X dt 4- x" — ■ 4- . . . ,

z,-z-=^z'dt-^ z"^-^ ....

Donc Xs — -3^, JKi — JKj ^1 — ^ seront du premier ordre au moins en dt, et l'un d'eux sera effectivement du premier ordre, car le point P étant simple sur Ci, x\ y', z ne s'annulent pas à la fois. Donc [PQi] est de l'ordre de dt.

D'autre part, en posant

on aura

¥ {x^, f^, Zi) = W {t -^ dt) =z W {t) -{- W {t)dt -i- .... Les conditions du contact seront donc

W{t)=iO, W'{t)-=o, ..., W^{t)—o.