de
oc oc- 1 . 2
¥{a:.y,c-^dc) = ¥{j^,y,c)-^ -^, de -h "-- ^— -4-...:=o,
ou, en supprimant le ternie F(x,y, c), qui est nul, el divisant par de,
ÔF â'F de
de de- 1 . 2 A la limite, de étant nul, on aura simplement
On obtiendra done l'équation de r enveloppe en éliminant c entre les équations
439. Remarques. — i"* Si ces deux équations sont incompatibles, il n'y a pas d'enveloppe.
2" La règle donnée pour trouver l'enveloppe suppose que l'expression ¥{x^ y, c) n'a qu'une seule valeur pour cliaque système de valeurs de x^ y, c. S'il en était autrement, l'enveloppe cherchée pourrait échapper en tout ou en partie à cette détermination.
Cherchons, par exemple, l'enveloppe des courbes
(i) ^ + y/j ~~ jM- c = o.
L'équation — - = o se réduisant ici à i =: o, il semble qu'on n'ait pas d'enveloppe; en effet, les branches de courbe
œ ^\Ji — j-2 -}- c = o et X 4- \/ 1 — y^ 4- c -f- <ic = o
ne se coupent pas. Mais le radical \J \ — y- pouvant être affecté du signe rt, la courbe (i) contient une seconde branche x — y/i — y- -|- c = o , laquelle coupe la courbe
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. t\1-
x-\-^/ 1 — y'^ 4- c-^dc^=^o en un point qui tendra, lorsque de se rapprochera de zéro, vers une limite définie par les équations
œ -^\f V — y- H- c — . o, oc — y/ r — ^>'- 4- c = o.
Éliminant c, on aura, pour l'équation de l'enveloppe.
On aurait obtenu ce même résultat en chassant le radical de l'équation (i), qui serait devenue
I — y- — {x -{- cy=^ o.
J^'équation étant mise sous cette forme, on aurait
et, en éliminant c,
4i0. Théorème. — U enveloppe est tangenle en chacun de ses points à l'e/iveloppée correspondante.
L'enveloppe est définie par le système des deux équations
Soient donc ^^o, jKo les coordonnées d'un de ses points, t'o la valeur correspondante de c, on aura
en désignant, pour abréger, par Fq, y~^ ^^ 4"^ deviennent
^F F et —, lorsqu'on j remplace x^ y, c par^'o, yo, c^.
L'enveloppée correspondante au point (Xq, yo) ^ pour équation
Soit maintenant (^,, jr,, c,) un point de l'enveloppe infiniment voisin de Co, on aura les équations
r i et -—■ désignant ce que deviennent r et -y^ pour x = x^,
Pour établir qu'il y a contact entre Tenveloppe et l'enveloppée , il faut montrer que F(Xi, yt, c^), résultat de la substitution des coordonnées Xi, y^ dans l'équation de l'enveloppée, est au moins du second ordre par rapport à
1^, — ^o(4-|r. — Jol- Or on a
F(<ri, /i, Co) — F[^i, j'i, Cl — (ci — Co)] Mais F, et -y-^ sont nuls. Cette expression sera donc du se-
UCi
cond ordre au moins par rapport à Ci — c,-,. D'autre part, posons, pour plus de clarté,
ôc
= *[^o+('^i— -^o), Vo4- ( ri—J'o), Co-t- (Ci-^Co)l
Il étant du second ordre en ^, — Xq, y^ — yo? C\ — <^o- Or <Po est nul. bi donc -. — ^= -r-^ n est pas nul, cette équation
OCq OCq
montre que l'ordre de c< — Cq est au moins égal à l'ordre de la plus grande des quantités \xi — Xq\, |jKi — J'o\ et, par suite, à l'ordre de | ^i — ^o | + \y\ — yo !•
Cette démonstration serait en défaut si --.r-^ était nul. Il serait aisé de montrer que, dans ce cas, û^q, y^ est un point de rebroussement sur la courbe enveloppe.
441. Soit maintenant F(.r, y, 5, c) = o une famille de surfaces contenant un paramètre c. Si l'on donne à c une suite de valeurs infiniment voisines, deux surfaces consécutives se couperont suivant une courbe. A la limite, ces courbes dessineront une surface, enveloppe des surfaces proposées. Proposons-nous de déterminer son équation.
Soit
l'une des enveloppées
(3) V (œ, V, z, cf -^ de) — V {x, v, ::, c) -^ -^ de -\- --— h. . •
' • oc oc^ 1.2
la suivante. La courbe d'intersection sera définie parles deux équations (2) et (3), lesquelles équivalent aux suivantes
dV (PY de
de de- i . 2
A la limite, de ^= o, et les équations se réduisent à
de
La courbe définie par ces équations se nomme la caraeléristique. L'enveloppe cherchée, lieu de ces caractéristiques, s'obtiendra en éliminant c entre les deux équations.
Trois enveloppées consécutives
{^\) { de ()c- 1.2
^ ^' ' âe de- i .2
43o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
ont nn point d'intersection défini parles trois équations (4)- Ces équations peuvent s'écrire ainsi :
âF —Rd^^^^B^dc^ i(PF J\d,c—R,dc
âc dcd^c{d^c — de) 2 dc'^ dcd^c{d^c — de)
et donneront à la limite, en remarquant que R et R, sont du troisième ordre,
Eliminant c entre ces trois équations, on aura Téquation de la ligne lieu des points d'intersection. Cette ligne se nomme Varête de rebroiissement. Elle rencontre évidemment les caractéristiques.
ii!2. TnÉoRiiME. — IJ enveloppée est tangente à Vem^eloppe tout le long de la caractéristique.
1^11 effet, l'enveloppe a pour équations
Soit (^0) Voî -^oj <?o) '^lïi <ie ses points, on aura
^^ = "' ôc,-''
Jj'enveloppée correspondante aura pour équation
Soit (^,, y,, ;:,, c, ) un point de l'enveloppe infiniment voisin de (j^o^ JKo, -^05 ^o) ; on aura
et il faut prouver que F(.r,, y,, 3,, Cq) est du second ordre
par rapport >a\x, — x^\-\-\y, ~y^ | -^ [ ^, __ -^ |.
Or on a
F(j?,,/i,^j,Co) = F[\ri,7i,^i,Ci— (Cl— Co)]
Cette expression est du second ordre en Cs — c^. D'autre part, posons, pour plus de clarté,
de on aura
^— ^=icî>(.ri, ri,.-,,c,)
; Or <ï>o est nul et R du second ordre en X\ — ^o? • • • ? ^i — <^o-
.. , . . ^*o ^'Fo , ,
Lette équation montre que, si -r — = -r-^^ n est pas nul,
c, — C(s sera au moins de l'ordre de la plus grande des quantités I .r, — ^0 1) \y\ — J'o I7 I ^\ — ^0 I) 6^7 P^r suite, au moins de l'ordre de leur somme. Donc F(^, , y,, ^i , Co) sera au moins d'ordre i par rapport à cette dernière quantité.
A Cette démonstration serait en défaut si l'on avait
^^Fo
auquel cas le point x^^ jko? -^o appartiendrait à l'arête de rebroussement. Il serait d'ailleurs aisé de voir que cette arête est une ligne singulière sur l'enveloppe.
443. Théorème. — L arête de rebroiissemeat a en chaque point un contact du second ordre avec C enveloppée correspondante, et touche la caractéristique.
Cette arête est définie par les équations
Soit {jOo,yo, z-Q, Co) un de ses points, on aura
L'enveloppe correspondante sera donnée par l'équation F{œ, y,z,Co) — o, la caractéristique par les équations
Soit (^, , y, , >s, , Cl ) un point de l'arête de rebroussemenl infiniment voisin du précédent, on aura
lS = o, — — — o, -— ^— o.
Le tliéorème sera évidemment démontré si nous prouvons
queF(\r,, r, , 3, ,Co) est du troisième ordre, et — ^'; ' ' *- ' c/Co
du second, par rapport à \xx — ^o ; + I J^i — J^o I -f- I ^j — ^ol-
Or la quantité
^(■^'i. yu -n t'o) — F[-3?i, /i, -1, c, — (c, — Co)]
est du troisième ordre en Cj — c,,.
Eq second lieu, posons
àF{x,y,z,c)
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAiLOR. 4^3
On aura
— t {o^i, y i, ^^, Cq)
de
^^[•^1,71,-1,^1 — (Cl — Co)]
quantité du second ordre en C\ — Cq, car on a ^Fi dW, d^¥,
11 reste à prouver que c< — Cq est au moins de l'ordre de la jilus graude des quantités \xx — ^o j, | JKi — JKo 1? | ^\ — ^o Ij et, par suite, de l'ordre de leur somme. Pour l'établir, posons
On aura
O -T-y IH -^1 » J 1 , ^1 , <^' W
— i>(^o-H^i— J^-o, •• .,CoS-Ci~Co)
Or ^0= -T-T est nul et R du second ordre en j:, — x,,, . . . , ■ dcl "' '
c, — Cq. Cette équation montre que c^ — Cy est au moins de
l'ordre de la plus grande des quantités | jr, — Xq\^ |jK, — j'o|,
\z,-z,\, pourvu que — = — soit >o.
Si cette quantité était nulle, la démonstration serait en défaut. Dans ce cas, Xq^ Yq^ Zq serait un point singulier sur l'arête de rebroussement.
44i. Soit enfin F(^, j^, 2, a, 6) une famille de surfaces contenant deux paramètres a et b. Si l'on change a et h en J. - I. 28
a -\- da ei b -\- dh^ on obtiendra une surface
F(^, /, z^a-^ da, b -h db) :=:^F -\- -j- da -h ^ db -\- . . . .
Si da et db sont infiniment petits, et quel que soit d'ailleurs leur rapport, la surface passera par le point défini par
les équations
da db
Éliminant a cl b entre ces équations, on obtiendra l'équation de la surface enveloppe. On vérifiera sans peine qu'elle est tangente à l'enveloppée.
