IV. — Courbes planes
4-4o. Considérons une courbe plane, définie par deux équations
Les fonctions cp, ô, étant supposées développables suivant la série de Taylor, admettent une dérivée continue. La courbe est donc rectifiable, et son arc s a une dérivée, égale
à s^/x'- -r y- (111 ) ; on aura donc
dsr=i\/x'^-\- y''^ dt.
446. Soit P un point ordinaire pris sur la courbe, x, j', t ses coordonnées.
Tangente et normale. — L'équation générale d'une droite
contient deux paramètres dont on pourra disposer pour faire passer Ja droite par le point P et établir entre elle et la courbe un contact du premier ordre.
Il faudra pour cela satisfaire aux deuK équations
(2) o — W{t)=i^i{t) — a^-f{t) — o^ — V — aa^ — :c,
(3) o=^W'{t)--=:/—aj^'.
Des équations (i) et (2) on déduit
Éliminant ensuite a entre cette équation et l'équation (3), on aura l'équation de la droite osculatrice
Cette droite se nomme la tangente au point P. La perpendiculaire à la tangente, ou normale, aura pour équation
447. Pour appliquer cette formule (ou toute autre formule dans laquelle figureraient x^ x\ x" ^ . . . , y^ y' ^ y", . • ) au cas où la courbe serait donnée par une seule équation
on n'aurait qu'à poser ^ = cp(^), cp étant une fonction quelconque et t une variable auxiliaire. On aurait alors
^^=cp'(0, x'—o"{t),
Quant à y^ ce sera une fonction implicite de t, définie par l'équation
F[cp(0,7] = o,
dont on pourra obtenir les dérivées par la règle connue.
Le plus simple est évidemment de poser .r=:^, d'où x'—ijx'^=z.,.=zo;y\ y\ ... ne seront autre chose que
les dérivées -7^, --4,, • • • et seront tournics parles équations
\ dx ' dy dx~~ '
(4) \ d^ dn< dy d^dy^ d¥ d'^y dx'^ dx dy dx ây^ dx- dy dx- ~ '
On uiira donc la règle suivante pour transformer les formules :
Remplacer x' par limité, x" ^ x'" , ... par zéro, jk', y, ... par les valeurs de -—•> -7^-> ••• tirées des équalions (4).
Opérant cette substitution, Tcquation de la tangente deviendra
et l'équation de la normale sera
dx dy
ii8. Cercle oscillateur . — L'équation d'un cercle
(X-a)2+(Y-îB)2 R2=o
contenant trois paramètres a, ^3, R, on pourra les déterminer de manière à établir un contact du second ordre au point P, entre le cercle et la courbe.
Ce contact sera exprimé par les équations
(7) o-^ '^r^t) =-- {x - a)^"-h (/ - ?)/"-[- ^'^-f-J-'-^ . De ces deux dernières équations on tire
(9) . y-^--- a^y^-y'ir-^
et, en substituant dans l'équation (5),
j,>y<yj^<
Le rayon R du cercle osculateur et les coordonnées a, ^i de son centre se trouvent ainsi déterminés.
4?49. Le lieu des centres des cercles osculateurs se nomme la développée de la courbe primitive C. Pour l'obtenir, il faudrait substituer, dans les équations (6) et (7), les valeurs de ^,jr, ^', JK', ^'S y en fonction de t^ et éliminer t entre les deux équations.
On remarquera que l'équation (6), en y regardant a, [j comme des coordonnées courantes, n'est autre que l'équation de la normale à C. L'équation (7) est sa dérivée par rapport au paramètre t. La développée est donc l^ enveloppe des normales.
450. Courbure. — On nomme courbure moyenne d'un arc le rapport de l'angle cp formé par les tangentes extrêmes à la longueur A5 de cet arc; courbure en un point {x^y) la limite vers laquelle tend la courbure moyenne d'un arc infiniment petit commençant en ce point.
y' Soient — / le coefficient angulaire de la tangente en x^y^
—. '—: celui de la taneente au point (x -h S.x, )'-i-Ai'\
cp l'angle de ces deux tangentes. On aura
Ar'
{x'-^lx')x'-^{f-^^y')y x' + ^x' x'
Or on a sensiblement
tangç rrr cp,
b.f — y"dt, !^x'—x"dt,
x'\y — y\x'=~, {x'y"--y'x")dt, {x' -\- ^x')x' ^ {y' -\- \y')y'z=ix'^-\-y
jc'y'^y'a^'
dt
x''^'+-y'^ aux infiniment petits près du second ordre.
On a d'ailleurs, avec la même approximation.
^sz-\^/œ'-'~x- y''^ dt.
CD , , a:' y" — y' x" La courbure c — lim — sera donc égale à — ' Elle
est, comme on le voit, égale à |jî l\ étant le rayon du cercle
osculateur.
Ce cercle a la même courbure que la courbe proposée. En effet, A5 désignant un arc de ce cercle et cp l'angle des tangentes à ses extrémités, ou, ce qui revient au même, l'angle des deux rayons menés à ses extrémités, on aura évidemment
A.s = R C5, et la courbure -- sera escale à — •
On donne souvent à ce cercle le nom de cercle de courbure.; son centre et son rayon seront dits le centre et le rayon de courbure.
iol. L'expression trouvée ci-dessus pour cp est positive ou négati\e, suivant le signe de la quantité
Si cette quantité est de même signe que x\ la quantité 75 coefficient angulaire de la tangente, croîtra ou décroîtra
en même temps que x. La courbe tournera donc sa convexité vers les j^ négatifs.
Ce serait l'inverse si x' y^ — y^ od' était de signe opposé à x^ .
152. Les points où x^ f — j/'^^'=o se nomment y?omi5 d^ inflexion . La courbure v étant nulle, le cercle de courbure aura son rayon infini, et se confondra avec la tangente.
La tangente T en un point d^ inflexion se confondra avec la tangente T' en un point infiniment voisin aux infiniment petits près d^ ordre supérieur au premier .i^^v ^ en bornant l'approximation au premier ordre, l'angle o de
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. l[3g
ces deux droites est nul; en outre, le point de contact de T' est sur la tangente T.
453. Les formules précédentes se simplifient si x est pris pour variable indépendante, auquel cas il faudra poser ^'= i.
Il viendra dans ce cas, pour la diiTérentielle de l'arc, ds:=^i -Y- y''^da)'^ pour l'équation de la tangente,
Y-/ = j'(X-^); pour la courbure,
et, pour l'équation des points d'inflexion,
