CHAPITRE IV

3" Que l'arc TT' se confond avec la droite TT'.

Le quadrilatère curviligne MM' TT' ainsi simplifié prendra

la forme ci-dessus {fig- i^), laquelle donnera M'T'=MTcosc5~f-TT'.

D'ailleurs, l'angle cp étant infiniment petit, on a sensible-

ent cosp = I , d'où

M'T'=rMT-i-TT'.

i61. Les considérations qui précèdent ne fournissent (|u'un aperçu; mais il est aisé de rendre la démonstration rigoureuse.

A cet effet, nous remarquerons tout d'abord que, MM' étant supposé du premier ordre, cp et TT' en seront également, car on a sensiblement

cp=::cMM'=ATT',

c et k désignant les courbures de la courbe donnée et de sa développée.

Cela posé, projetons le quadrilatère curviligne MM'T'T sur M'T'. On aura *

M'T'=:proj.MM'4-proj.MT4- proj.TT'.

Or proj.MM'=: cordeMM'cos^, ^ étant l'angle de ladite corde avec M'T'. La corde MM' étant du premier ordre et ^ infiniment voisin d'un droit, proj. MM' sera d'un ordre supérieur au premier et pourra être négligé.

D'autre part, proj.MT= MT coscp, et, cp étant infiniment

•1-1 ^' petit du premier ordre, coscp = i — -^ h • • • pourra être

remplacé par l'unité. Donc proj. MT = MT.

Enfin, on aura proj .1 T' = corde TT'cos y, y étant l'angle

formé par la corde TT' avec jVrT^ Cet angle étant infiniment

petit et la corde TP différant infiniment peu de l'arc, on

aura sensiblement

proj.TT'=.TT'.

On aura donc bien

M'T'=MT-t TT'.

462. Cette équation n'a été démontrée que pour un arc MM' infiniment petit, et en négligeant les infiniment petits d'ordre ^i. Mais il est aisé d'en conclure que l'égalité est rigoureuse, et subsiste pour un arc quelconque MN pris sur la courbe C.

Soient, en effet, NU, MT les tangentes menées des points M, N à la développée, UT l'arc de cette dernière courbe compris entre les deux points de contact. La différence