V. ~ Géométrie infinitésimale

458. Soient A, A', ... des infiniment petits connus, a, ^ des quantités qui leur soient liées par des équations

. .Ji,k, .

..Ji,k, .

Supposons qu'on veuille déterminer a, [3, ... aux infiniment petits près d'ordre n; il est clair qu'on pourra supprimer a priori dans les expressions de h, A", ... à porter dans les équations /" = o, z> = o, tous les termes dont la présence n'altérerait a, [^, ... que d'un infiniment petit d'ordre ^n. On verra aisément dans chaque cas, avec un peu d'attention, ce qui est négligeable et c*e qui ne l'est pas.

Dans les applications géométriques du Calcul différentiel, les infiniment petits a, p, ..., h, A, ... qu'il s'agit de calculer en fonction les uns des autres sont rattachés ensemble

par une figure de laquelle on déduit les équations

qui les lient.

Au lieu d'établir les équations exactes et d'y négliger ensuite certaines quantités, il est souvent plus simple de considérer, au lieu de la figure rigoureuse, la figure approchée qui s'en déduirait en négligeant ces quantités; de cette nouvelle figure on tirera les équations approchées.

Pour que ce procédé soit légitime, il faut évidemment qu'on soit en mesure d'établir que les changements de la figure n'altèrent le résultat à obtenir que d'une quantité négligeable eu égard à l'approximation que l'on demande. La nécessité de cette discussion diminue notablement les avantages que présente souvent la méthode géométrique au point de vue de la simplicité et de l'évidence.

Les exemples suivants éclairciront ces considérations générales.

459. Problème 1. — Soit p=:y'(rj) Inéquation d\ine courbe en coordonnées polaires. On demande rangle\ de la tangente avec le rayon vecteur, et la différentielle de rare.

Soient P, Q i^fig' i4) deux points de la courbe infini-

ment voisins, ayant pour coordonnées p, B et p + Ap, Q -i- A0.

Du point O comme centre avec OP pour rajon, traçons un arc de cercle PR. Menons les droites PQ, PR.

L'angle V dififérera infiniment peu de l'angle QPS, qui lui-même ne diffère de RQP que de l'angle infiniment petit A9 ; de même l'arc PQ ne différera de sa corde PQ que d'une quantité infiniment petite par rapport à PQ.

Les c[uantités à calculer seront donc l'angle RQP et la corde PQ.

Gela posé, RP, corde infiniment petite du cercle PR, sera sensiblement perpendiculaire à OR. Sa longueur sera sensiblement égale à l'arc RP, qui est égal à p A8. D'ailleurs, RQ = Ap. Donc le triangle PQR est sensiblement un triangle rectangle ajant pour côtés de l'angle droit p AQ et Ap, et l'on aura, par la formule des triangles rectangles,

tangRQP z= ?— , PQ t.: y/Ap^n- p^AO^

et à la limite

di)

tangV = p — - , ds r=: s^/d-/- -t- p^^O^

Mais il faut s'assurer que les modifications faites au triangle PQR n'ont pas altéré la valeur principale des quantités cherchées RQP et PQ.

On peut, à ce sujet, remarquer d'une manière générale que les angles A, B, G d'un triangle quelconque ABG et les rapports a = -j p =r - de ses côtés sont liés par les trois relations connues

a=z b cosG H- c cosB,

h -=^c ces A H-acosC, c =^a cosB -H bcosk, d'où

a = |3cosG -1- cosB,

fi r::: ces A 4- 2^ ces C,

1 1= a cos B -h p ces A .

Si l'on donne des accroissements infiniment petits à deux

des quantités qui figurent dans ces formules, les trois autres

prendront des accroissements correspondants infiniment

petits et dont les valeurs principales s'obtiendront en difTé-

rentiant les équations précédentes.

Dans le cas actuel, on a modifié infiniment peu l'angle en

T> 1 F^P T' 1 r^ 1 PQ

K et le rapport -rjj-- L angle en (^ et le rapport ^-~ auront

infiniment peu changé. Donc, l'angle Q et le côté PQ n'ont été altérés que d'une fraction infiniment petite de leur valeur, ce qu'il fallait démontrer.

460. PiioBLÈME II. — Tromper la longueur de l'arc de la développée d'une courbe G.

Soient

Mï, M'T' {fig- i5) deux normales à G infiniment voisines;

cp leur angle ;

T et T' les points où elles touchent la développée.

En négligeant les infiniment petits du second ordre (MM' étant considéré comme du premier ordre), on pourra admettre :

i" Que M est sur la tangente au point M', laquelle est perpendiculaire à M'T' {fis'- ^^)j

1^ Que T est sur la tangente M'T^ à la développée ;