La normale au point (.r, j^, ;) a pour équations
D'ailleurs ^, />, q sont fonctions de deux variables indépendantes ^,j)^. Les normales à la surface formeront donc une congruence.
5o6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
Pour reconnaître le caractère particulier de cette con-
i^ruence, cherchons comment se distribuent autour de la
normale OZ les normales infiniment voisines.
On a
ax"'-^ c y^
p :— ax -{-... , q~cj -\-....
Si donc on suppose x et y infiniment petits, on aura, au deuxième ordre près,
;: =z G, p zrz ax^ q = CY^
ce qui donnera, pour équations des normales dont il s'agit,
ax cy
ou
X =^ .-r — axZ,
La droite, ainsi définie, rencontrera la normale OZ, si l'on peut satisfaire aux deux équations
o =z. X — axZ, o^^y — ^7^'
Si O n'est ni un ombilic ni un point parabolique, cela pourra se faire de deux manières :
i" En posant
i" En posant
Les deux fojers de la congruence situés sur la normale OZ
auront pour ordonnées - et -• Ils se confondront donc avec ^ a c
les centres de courbure des sections principales. Ces points
portent le nom de centres de courbures principaux.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOll. 607
Les normales infiniment voisines de OZ, qui la rencontrent au foyer Z = - correspondant à ^ := o, ont pour équations
et sont situées dans le plan des YZ. Ce plan est donc le plan focal.
De même, au fover Z =: - correspondra comme plan focal
le plan des XZ. D'où ce résultat :
Les plans focaux sont rectangulaires et se confondent avec les plans des sections principales.
Les plans principaux de la congruence, se confondant avec les plans focaux (500), seront les plans des sections principales, et ses points principaux seront les centres de courbure principaux.
514. Examinons maintenant le cas où O serait un ombilic ou un point parabolique.
i*' Si O est un ombilic, on aura a = c. Les deux foyers coïncident. Enfin les normales infiniment voisines de OZ, ayant pour équations
