MN
Mais le triangle MPN donne
cosY 2C0SY
5o4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
D'autre part,
en négligeant z'-^ qui est du quatrième ordre; on aura donc
aœ'^ -\- c Y^ a cos-cp -+- c sin'^o
cos^({jL---f- j'-^) ces Y
On voit, par cette formule :
i" Que la courbure cliercliée ne dépend que de la position du plan osculateur de la courbe L. J^a courbe L aura donc la même courbure que la section plane faite dans la surface par son plan osculateur;
9^° Que la courbure d'une section plane est égale à celle de la section normale menée par la même tangente, divisée par le cosinus de V obliquité. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Meunier ;
3** Que la courbure d'une section normale est donnée en fonction de V azimut '^ par la formule
le z= a cos^cp -h c sin^ç).
Cette formule a été donnée par Euler.
510. Les maxima et minima de cette expression, considérée comme fonction de cp, correspondent évidemment à
'j = o et C2:= -• Les deux sections correspondantes se nom-
ment sections principales et ont pour courbures respectives les quantités a et c, que l'on nomme courbures principales .
Le rayon de courbure d'une section c[uelconque est, par définition, l'inverse de sa courbure; son signe indiquera d'ailleurs dans quel sens le rayon doit être porté sur la normale pour donner le centre de courbure.
Suivant que l'indicatrice est elliptique ou hyperbolique, les courbures principales a et c seront de même signe ou de
signe contraire. Dans ce dernier cas, le rayon de courbure t
changera de signe en passant par oo, pour les valeurs de cp
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. Oo5
déterminées par l'équation
tano;^cD ::=
lesquelles correspondent aux asymptotes de l'indicatrice.
Enfin, si l'indicatrice est formée de deux droites parallèles, -j conservera toujours le même signe, mais deviendra
ri
infini pour une seule direction (pour '^ r= -^, s! c'est le coefficient c qui est nul).
51i. Considérons deuv sections normales perpendiculaires entre elles et ayant respectivement pour azimut cp et
cp,=z '^ -^ On aura pour leurs courbures
k =acos-cp 4-csin-cp,
/ij --- a cos^ »i -t- c sin^ cpi — : a si ii^ o -h c cos^ cp,
Donc : la somme des courbures de deux sections nor aies rectangulaires est i des courbures principales.
maies /rectangulaires est constante et égale à la somme
512. Si a = c, l'indicatrice est un cercle et la formule d'Euler devient k =■ a. Toutes les sections normales auront donc même courbure. Enfin la direction des sections principales est indéterminée. On nomme ombilic un point de la surface qui jouit de ces propriétés.
