On voit, par ce qui précède, qu'un système de droites

Oo8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

dépendant de deux paramètres a, j3, n'est pas formé, en général, de normales à une même surface. 11 faut, en effet, pour qu'il en soit ainsi, que sur chaque génératrice les foyers et les points principaux se confondent.

Proposons-nous de trouver directement l'expression de la condition à remplir pour que les droites (2) soient normales à une même surface.

Posons à cet effet, pour plus de simplicité,

\Jb'-^bl^bl sJb--\-b\^bl \Jb^-^b\-^bl

t — ^~b^-^b\ -f- b\ Il .

Les équations (2) pourront s'écrire

X=^ a -t- eu, Y z:zz a^ -+- c^ii, Z^^o-r-Cj?/,

et l'on aura

(3) c^-l-c?-f-e^ = i, d'où

(4) c de -+- Cidc^-^- c^dc^^^o.

Soient maintenant x, j', z les coordonnées du point où l'une des droites (2) coupe la surface cherchée; B la valeur correspondante de u. On aura

(5) .v — a-\-e^, j -=:«i 4- c,0, z^-a,^ e.^^, et, comme la droite est normale,

(I ou

(6) P = -h i—lF-

Il s'agit de trouver des fonctions ^, y^ z, 9 des variables a et JB, telles que les équations (5) et (6) soient satisfaites.

Les équations (5) différentiées donneront

dx ^=^ da -^ ^ de -A- c d^ ^ dy = da^-\- 0 dc^-\- c^dO, da^ + 6 dc^ 4- Cg d^ =z dz :=^ p dx + q dy

= {da -^ ^ de -V c d^) ^ ( <i<2i + 6 (ic, 4- Ci <^0 )

ou, en chassant le dénominateur Co et tenant compte des équations (3) et (4).

c (ia -h Cl da^ -h ^2 da=i^ 4- <i6 i= o.

Remplaçant <ia, <i<2i, c/ao, <^/0 par leurs valeurs

da , r^-i! ,„

et égalant séparément à zéro les termes en c/a et en t/j^, on aura les deux équations

-H Cl