Câ

r:ro,

+ Ci

on,

da.

l^renons la dérivée de la première équalion par rapport à [ii, celle de la seconde par rapport à a, et retranchons-les; f) disparaîtra en vertu de la relation connue

âoid'^ â?>dy.

ei il restera l'équation de condition

d da d ^ da

d? d'X doL^^d^^ '

OU, en effectuant les calculs et supprhiiant les termes qui se

détruisent,

de da de da

dy. d^

5lO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

016. Les théorèmes généraux démontrés sur les congruences, étant appliqués aux normales à une surface, montrent que par chacune d'elles passent deux normalies (surfaces composées de normales) développables. Elles se coupent à angle droit, les deux plans focaux qui leur sont respectivement tangents étant perpendiculaires l'un à l'autre, comme nous l'avons vu.

Les intersections de ces normalies avec la surface portent le nom de lignes de courbure. Par chaque point de la surface passent deux lignes de courbure ayant respectivement pour tangentes les tangentes à la surface situées dans les plans focaux. Ces plans étant ceux des sections principales, les lignes de courbure seront en chaque point tangentes aux sections principales, et se couperont à angle droit.

017. Il est aisé de trouver l'équation différentielle qui caractérise ces normalies et la grandeur des rayons de courbure principaux en un point quelconque de la surface.

Soient, en effet, x^ y^ z qV x -\- dx, y -\- dy^ z -j- dz les

coordonnées de deux points infiniment voisins de la surface;

— : — = - — ,7"^ =^ — ?^^ — les équations de Ja normale au A B L A

point (^, y, 3). En introduisant une nouvelle variable ^,

égale à la valeur commune de ces rapports, on pourra mettre

ces équations sous la forme

La normale au point (x -j- dx., y-\- dy^ z 4- dz^ aura des équations analogues

X -- ^ 4- c/j7 4- ( A 4- dk. )ti, Yz=Y -^df -\-{B-\-dB)t^, Z~z -hdz 4-(C + t/G)Z,.

Ces deux droites se rencontreront, si l'on peut donner aux

variables t et t^ des valeurs T et ^^ telles que l'on ait

X = .r 4- AT = ^ 4- ^^ -h ( A + ^A)Ti,

Y r= / -H BT rzr J -H dy + (B + ^B)Ti,

Z=^4-GT=i54-^^ -h(G4-^C)T,, OU, en réduisant,

5ii

o = «f^ + A(Ti — T) -hT, ^A, o = ^/4-B(Tj-T)+Ti^B, oz=^dz +G(Ti — T)-^Tir/G.

Pour que ces équations soient compatibles, il faudra qu'on ait

dx A dk.

dy B r/B dz G dO,

11 ne restera plus qu'à substituer aux diverses quantités qui figurent dans cette équation leurs valeurs en w, v^ du^ dv.

Les normalies développables une fois déterminées par l'équation différentielle précédente, leurs intersections avec la surface proposée donneront les lignes de courbure.

518. Reste à déterminer le rayon de courbure principal, En le désignant par R, on a évidemment

K =ry/(X — .r )^-f-"(Y — 7)2-t- (Z — ^)2= Tv/A^-h'B^-hC^

D'ailleurs, les équations (7) montrent que Y^ — Test infiniment petit. On pourra donc poser

R=TVA'^+B^+G-.

Pour déterminer T^, on n'aura qu'à remplacer dans les équations (7) dx^ dy, dz, <iA, ^/B, dC par leurs valeurs

dx j âx j dx = -— du H — T— dv, du ôv

Elles deviendront

o = ^-fdu 4- ^^r-f- A(T, ^T)h-t/^^^/ + ^ dv ), du dv \âu ai' '

o r= ^/ du -i- P^ dv-hB{T,-T) ^tJ ^du du dv \âu

o^^du^,-~dç-^C{T,-T)-^T,(^du-\-^d^).

du âç \âu dv '

Éliminant entre ces équations les rapports des quantités du. dv^ T, — T, il viendra

djL' ^A ,„ dx (?A , ,

du du OS' ov

dy dB dy dB

du du dv dv

dz ^dC dz dC p

du du dw dv

Substituant pour T< sa valeur

on aura, pour déterminer R, une équation du second degré, comme cela doit être.

519. Vovons ce que deviennent ces formules dans le cas simple où z est donné en fonction de x^ y supposées variables indépendantes. On aura, d'après nos définitions,

dz ■=z p dx 4- q dy, dp^=: r dx H- s dy, dq -— 5 dx -r- t dy,

L'équation différentielle (8) des normalies développables

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5j3

deviendra

(lo) {

dx p r dx -\- s dy

dy q s dx -h t dy

p dx -^ q dy — i o

\{^\-^p'')s—pqr\dx''^l{\-\-p'')t — {\-\-q'')r'\dxdy -[{i-^q^~)s—pqt'\dy\

D'autre part, x ely se confondant avec u et ç^ on aura

du ~''

dy dy

du-""' di>~

du -

dA dp

dv ~ dy"''

âB

du '

- dx-''

dB dq dv~ dy~ '

ÔG du '

dz du=^'

^'équation des

rajons de

courbure deviendra donc

sR P

p'-hq'^

\Jl-\-p^-\-q'

sji^p^

520. Aux ombilics, l'équation des normalies développables est identiquement satisfaite. On aura donc, pour déterminer ces points, les équations

{i^p'-)s—pqr-=^o,

(i-hy.2)^-(i + ry^)/-=:o, {i^q'')s—pqt--o,

5l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

qui se réduisent aux deux suivantes :

El ^ ^ + ^/^

En les combinant avec l'équation de la surface, on aura, pour déterminer les coordonnées des ombilics, trois équations généralement distinctes. Le nombre des ombilics sera donc limité.

521. Enfin, aux points paraboliques, la normale est parallèle à une normale infiniment voisine. On pourra donc déterminer le rapport de du à dv de telle sorte qu'on ait

dk A

ou, en désignant par t la valeur commune de ces rapports, dk. , dk.

du du

dv dh 'dv

dC , dC ^ -— du H — T— cii du dv

dv z=z kt, dv — Bt, Ct.

Eliminant du^ dv^ t, on obtient l'équation de condition

(JV

dB du

En la combinant avec les équations de la surface, on obtiendra les équations de la courbe formée par les points paraboliques.

Si z est exprimé en fonction des variables indépen-

dantes x^ y, l'équation (i3) se réduira à

z=zs^-—rt.