MN

est

de la forme

Ct' -h.

ili,--

On a donc

X' — X; =Er-4-E,^''+2-l- On trouvera de même

Le déterminant

Ct'

ou

^^Jo

.ri B m

est d'ailleurs ^o.

Ainsi, dans les développements de X' — X'^ et de Y' — Y'^,, s est le plus petit exposant non divisible par 5, et le déterminant Ecf — C¥ n'est pas nul.

Nous allons voir que ces conditions sont suffisantes pour que s soit un exposant caractéristique pour le cjcle CI.

En effet, l'un au moins des coefficients E, F, par exemple E, n'est pas nul. Posons, pour ramener les équations du cjcle à la forme canonique

Ef ~^. . .-h Ct' -\-. . .= t"',

t' étant un nouveau paramètre; et faisons

L'équation précédente deviendra après division par t'^

e'- + EiE '• ^'SO''+S+. .

+ CY7'- t"-''¥ +. . . )

Dans le développement de 8 tiré de cette équation, mettons en évidence les termes dont l'exposant est divisible par 5; on pourra écrire

e = I + Gi ^'5 | Q^ ^/26 |. . ^ g ^'(7 ^ .

et, 771 étant un entier quelconque, on en déduira un développement de la forme

Substituons ces valeurs de 9 et de ses puissances dans l'équation précédente, nous en déduirons les valeurs de a- et de Çj. En effet, le premier terme du développement de

dont l'exposant ne soit pas divisible par o sera 7'(]t'^. Dans celui de

le premier terme de ce genre sera oE '^t'^~^. Ces deux termes devant se détruire, on aura

On aura donc, pour t^ une expression de la forme

t == E~^^'[i 4- Gi^'S + . . . -h g^'^-'- + . . .],

où Çest défini comme ci-dessus.

Substituons cette valeur dans l'expression de Y' — Y'^,. Le premier terme d'exposant non divisible par 8 dans le développement de

sera

Dans celui de 5^^^ -I- ... , ce sera cT^E ' y'-^. Ces deux termes réunis donneront un terme en t'^^ dont le coefficient

sera différent de zéro.

On aura donc avec le paramètre t', pour X' — X'j, et Y' — Y'q, des expressions de la forme

Y' — y; = 1 1"' 4- Il t"--^^ -f- ... -t- 5 ^'^ -+-... .

Donc s sera un exposant caractéristique pour le cycle G^ Gomme on peut d'ailleurs revenir de C à C par une substitution homographique, on voit que, réciproquement, tout exposant caractéristique de G' le sera aussi pour G.

576. Passons à l'examen des transformations dites quadratiques^ où fij fo-, fz sont des courbes du second degré. On aura trois points fondamentaux. Soient A = o, B = o, G = o les équations des droites qui les joignent deux à deux; /i? fi-, fz seront des fonctions linéaires des produits AB, BG, GA.

Soit

/, -=aiBC + (3iCA -hYiAB,

/,r=a.,BC-hp2CA + Y2AB,

/3=:a3BC-h?aCA + Y3AB.

La transformation considérée

résulte évidemment de la composition des trois transformations suivantes :

ç:ri : r :: A : B : C,

dont la première et la dernière sont homographiques; quant à la seconde, c'est une transformation quadratique particulière, que nous allons étudier.