Un cycle C, défini par les équations
X : V : z : : xq^ a^t-i-. . . : v^-i- b^t -\-. . . : -0 ^ ^1 ^ + • • • ,
aura pour transformé un cycle C de la forme
ou
x':y:z'::Tr.T,:T,,
Ti ==/i (-^'o -f- «^-^i ^ + . . • , /o -H ^1 ^ + • . • > -0 + Cl ; -f- . . . )
5n8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
Le cycle G' aura pour origine le point transformé de (xo, yot^o)^ à moins que ce dernier point ne soit fondamental.
Dans ce cas, /< , /a, /s s'annulant en ce point, les fonctions T,, To, T3 contiendront, en facteur commun, une puissance de t, qu'on devra supprimer pour avoir les véritables équations du cycle G'.
574. Nous allons faire quelques applications de cette théorie.
Supposons d'abord quefi^fo,/^ soient des fonctions du premier degré : il n'y aura pas de point fondamental, et la transformation
sera homographique.
Un cycle G, ayant pour équations
œ : y : z : : Xo -H ^'' : Yo + «^'" 4- «c ^'"^ + • • • : i »
aura pour transformé le cycle G', défini par les équations
^':/: z' :: Ti : T2 : T3, où
T,=:a Xo+P Yo-l-Y 4--(a -^ ^ a) f -{- p a^f»^.,.,
T3=a"Xo+ |3"Yo+f 4- (a'' 4- pV)r+ pX^''" + - • •• Ge cycle sera d'ordre /*, comme G, et sa tangente
œ' aXo-i-PYo4-Y a4-pa / a'Xo4-p'Yo+Y' a'+?'a z' a"Xo-|-?"Yo4-Y" a"4-p"a
sera la transformée de la tangente à G.
Substituons, en effet, à x\y', z' les quantités proportionnelles <xx ^ fjy -\-yz, a'cc -\- ^'y 4- ^^ , ^'^ ^ + ?*"y + Y^-
Le déterminant ainsi obtenu sera le produit du déterminant
qui n'est pas nul, par le déterminant
? Art
qui n'est autre que le premier membre de l'équation de la tangente à C.
11 résulte de là qu'à tout point p d'une courbe d'où partent un certain nombre de cycles C, d , . . . d'ordres ;•, /'< , ... correspond, dans la transformée, un point p' d'où partent autant de cycles, également d'ordres r, /'^, .... De plus, si les tangentes à quelques-uns des premiers cycles coïncident, il en sera de même pour les cycles transformés.
La classe de G' est aussi égale à r^ — /', comme celle de G ; car le déterminant
? cio
a Aq ■-{- p 1 0 H- Y
n'est pas nul.
57o. Nous allons enfin établir que C a les mêmes exposants caractéristiques que G.
Soient, en effet, s = r^ l'un de ces derniers; S le plus grand commun diviseur de /', /'o, . . ., r^^. Si nous mettons à part dans la suite a^^ H- «o^'" + • • • les termes dont l'exposant est divisible par 3, on pourra la mettre sous la forme
af -f- «0 ^''o H- . . . H- «fj^ t''[>. + . . .
= A ^'' -t- Al t''+^ -+- A2 ^'"^28 ^, ^xt'-^. . .,
58o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
A, A> étant égaux à a, a^ et les autres coefficients A, , A2, . . . pouvant être nuls, en tout ou en partie.
Le cycle C, transformé de C, a pour équations
a;' :/ :z' iiTiiT^rTg, où
1 = ^; + Br 4- Bi^'-+s -h. . . +
T2 = .r'o -h G r + Cl ^'-^2 + . . . -h
T3=: z', 4-D^'--hDir'+S + ...+
cD^^ + . ..
en posant, pour abréger,
X',r=-. y.X, +?Yo -f-Y
y; = a'Xo+?'Yo + r
^;=a''Xo+?"Yo + Y'
\lb — .3c;l>, 3 =::3'.l,,
cO =?"oX,
Le déterminant
B Hî.
a Xo -h 3 Yo + 7 a -h 3 A
a'Xo-t- ?'Yo-f-Y' a' + 3' A
D lQ
'/'Xo+?"Yo4-y" a^+^A
sera d'ailleurs ^o, car ^l; = a^ n'est pas nul.
En outre, l'un au moins des nombres x'^^, jKq 1 ^0 n'est pas nul. Soit, par exemple, z'^^o. Posons
et cherchons à développer les expressions X' suivant les puissauces croissantes de t. Posons, pour abréger,
a\ -i-Bi'-+ B,.'-^3^.. .7- M, Dbr- +-. . .— M', D,^'-+S + .. .:^^X,
On aura
Le développement de ^ ;' = ^^^-^ est de
la
rme
où le premier coefficient E est égal à
Celui de
ou
