Démontrons encore le théorème suivant
Toute transformation de Cremona résulte de la composition de transformations quadratiques.
Soit S une semblable transformation, définie par les relations
oùf^ /o, fs sont des fonctions d'ordre n en ce, y, z.
Considérons trois points quelconques /j> = (a, a^, a"), p' := (P, p', p"), p' ■=. (y, y', y'^) non en ligne droite, et composons la transformation S avec la transformation homographique
(2) X : r : ^ :: a^; -H p-rn- yr : a'^ + [B'r, -\-iV. ^'\ -f- ^"-r, + i'-c.
La transformation résultante sera
OÙ C5, = /< (oc; -h (Bt; H- y^? • • •? • • •), • • • sont de degré n en Composons cette nouvelle transformation avec la suivante
(3) ^:ï]:C::^'C':C'r:rr/.
La résultante Si sera
^' :/':-':: 4^1: 'la: 4^3,
"l^i ='fi(''l'?'7 s'?,;'V), ••• étant de degré 2/1 en ^', ri, Ç'.
Le degré de cette transformation s'abaissera toutefois si l'un des points /), />', p" est un point fondamental de la transformation S.
Supposons, par exemple, que p soit un point de multiplicité ?', commun aux courbes /"i, /2 5 /s 5 son correspondant Tj = ^ = o sera multiple d'ordre i sur les courbes cp<, O25 ^3-
592 PBEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
Donc tous les termes de cp,, cps, cpg seront de degré au moins égal à f par rapport à ri, 'C- Donc tous les termes de <]><, (j;^, tpa seront divisibles par ^''. Ils seront de même divisibles par VS '^''" si p\ p" sont fondamentaux et de multiplicité i' , i!' . Après suppression de ces facteurs communs, le degré de ces fonctions ne sera plus que in — i — i' — i" . On déduit de la relation (2)
^:ri:r::A:B:C,
A, B, G étant linéaires en x^ y, z, puis de la relation (3)
(4) ç' : ^' : C' : : r,^ : t\ : U : : BC : GA : AB.
La transformation S résulte donc de la composition de S, avec la transformation quadratique (4)-
Le théorème sera donc établi si nous montrons qu'il existe, dans toute transformation S, trois points fondamentaux non en ligne droite et dont les ordres de multiplicité ?, i' ^ i\ aient une somme >> n. Gar la démonstration du théorème pour S sera ramenée à sa démonstration pour S, qui est une transformation de degré moindre.
583. Or, soit a^ le nombre des points fondamentaux de multiplicité /r; on a, comme nous l'avons vu, les relations
dont la combinaison donne la suivante
(7) EA:a^ = 3/i — 3.
D'ailleurs, la somme des multiplicités de deux points fondamentaux quelconques ne peut surpasser n\ autrement, les courbes /, , /a, J\ coupant en plus de n points la droite A == o qui les joint, /, , /j, /g contiendraient A en facteur commun, contrairement à notre hypothèse. Mais, si /i > i ,
COURBES PLAINES ALGÉBRIQUES. ÔqS
on a /? << 3/1 — 3. Donc il y a au moins trois points fondamentaux.
Soient /), p\ p" les trois points fondamentaux dont les ordres de multiplicité sont les plus élevés; soient i, i' ^ i" ces ordres et supposons iyi^ y i" • Les équations (6) et (7) pourront s'écrire, en mettant ces termes en évidence,
SA-^a^t ^'- 'i' — I - i^ — i'^ — i"\ 2 A- a/^ Lz^ 3 /i — 3 — i — i' — i" ,
les nouvelles sommes étant restreintes aux autres points fondamentaux.
On déduit de ces relations
n^ — [ — /2 __ //2 __ lift ^^^3,^ 3 /__ j' ^/^)
z^I.k{k~-i")a„lo,
car k — i' est toujours ^o.
Donc n ne peut surpasser la plus grande racine de l'équation
laquelle est égale à
