VV

La quantité sous le radical peut s'écrire

et l'on a

Enfin les trois points/?, p' ^ p" ne sont pas en ligne droite; car s'ils étaient sur une même droite A =: o, celle-ci coupant les courbes /i, /2, /a en plus de n points, /<, /o, /s auraient le facteur commun A.

IV. — Transformations birationnelles d'une courbe. 584. Posons, comme nous l'avons déjà fait,

(I) oo".y\z^',\f,'.u\u

f\i fil fi étant des polynômes homogènes d'un même degré l en x^ JK, ^, et sans facteur commun.

Supposons x^ JK, z assujettis à la relation

L'élimination de x^ y, z entre les équations précédentes donnera une équation

exprimant la relation qui doit avoir lieu entre les rapports x' \ y \ z' pour qu'il existe un système de valeurs des rapports X \y \ z pour lequel les équations (i) et (2) soient satisfaites simultanément.

Le plus habituellement, cette solution commune sera unique (sauf, peut-être, pour certaines valeurs particulières des rapports x' \ y' \ z'). On sait, dans ce cas, qu'elle sera donnée par des équations de la forme

R, R, étant des fractions rationnelles qu'on peut supposer réduites au même dénominateur.

Chassant les dénominateurs, ces équations pourront se mettre sous la forme

f\, Z^, /a étant des polynômes homogènes et d'un même degré L' en x' ^ y' ^ z'.

A chaque point x, y, z de la courbe F correspond donc un point x'^ y' ^ z' de la courbe F' et réciproquement, les

points correspondants étant liés par les deux systèmes de relations (i) et (4).

Ces deux systèmes ne seraient pas équivalents pour des valeurs quelconques de x^ y, z, x' , jk', z' [à moins que la transformation (i) ne fût une transformation de Cremona] ; mais ils le sont, et cela nous suffît, pour celles de ces valeurs qui satisfont aux équations (2) et (3).

Nous dirons que les équations (i) et (4) établissent une correspondance uniforme , ou bircitionnelle , entre les courbes F et F'.