V -f- 2 ( /^ — I ) — in zzzip

Le nouvel invariant p ainsi défini se nomme le genre de la courbe F. C'est un nombre entier, qui ne peut être négatif si F est indécomposable.

En effet, toute courbe F pouvant être changée, par des transformations quadratiques qui n'altèrent pas le genre, en une courbe F' n'ayant que des cycles simples à tangentes séparées, il suffit d'établir la proposition pour cette dernière. Dans ce cas, S(r — i) est nul et, a^^ désignant le nombre des points de multiplicité A", on a

V = /z(/i — i) — 'Laf^k{k — i)

P'^ — -1 — -ZJ^'—i —

nombre évidemment entier et qui n'est pas négatif (557).

587. Soit F une courbe indécomposable, d'ordre /z , n'ayant que des cycles simples à tangentes séparées. Si l'on suppose le triangle de référence choisi de telle sorte que le

sommet x ^=^ z -=^ o ne soit pas sur la courbe, celle-ci aura une équation de la forme

F = AY'^ -+- Al Y''-* -+-... H- A„= o, .

A étant une constante différente de zéro, et A4 , . . ., K,i des polynômes en X, de degrés t , . . ., n respectivement. Si nous posons, pour abréger,

le genre /> de F sera donné (numéro précédent) par la formule

Soit

y ^Y''^-f- 3iY'«-i + ...=rO

une autre courbe d'ordre m. Proposons-nous de déterminer ses coefficients de telle sorte que, parmi ses mn points d'intersection avec F, il y en ait le plus grand nombre possible qui occupent des positions choisies d'avance. Voyons d'abord de combien d'indéterminées nous pouvons disposer pour cela.

Effectuons la division de /par F; il viendra

/=QF + R,

Q et R étant deux polynômes entiers, dont le dernier est de

degré m en X, Y, mais de degré n — i seulement en Y. Or

il est clair que les points d'intersection de f d^wec F sont les

mêmes que ceux de R avec F. Nous pouvons donc nous

borner à considérer parmi les courbes d'ordre m celles dont

l'équation ne contient Y qu'au degré n — i.

Supposons d'abord m^ n — 3. L'équation de la courbe/*

contiendra termes de degré ^n — 2, plus n termes

de chacun des degrés n — ï , w, ..., m. Le nombre total de

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. SqQ

ces termes sera donc

(m — /i + 2 ) /i H zr^mii— p — a -h I ,

et l'on pourra déterminer les rapports des coefficients de manière à faire passer / par mn — p — d points lixés d'avance; il restera donc /) -j- <i points d'intersection dont on ne pourra disposer.

Si m ^ n — 3, le nombre des termes de / sera

et celui des points d'intersection dont on ne pourra disposer

sera

mn — ^- — h I.

En particulier, pour jn=. 11 — 3, ce nombre se réduira à

588. Les nombres précédents peuvent être diminués si l'on fait passer/ par les points multiples de F.

Supposons, en effet, qu'on remplace pour y l'obligation

de passer par points fixes de F par celle d'avoir un

point de multiplicité i à un endroit où F a elle-même un point de multiplicité k. Le nombre de conditions sera le même; mais le nombre des points d'intersection dont la po-

sition est hxee par la ne sera plus -^ •> mais ik. Le résultat le plus avantageux s'obtiendra donc en donnant à i la valeur k

valeur k — i , qui donne à ik sa valeur maximum

Si donc m est assez grand pour que le nombre des coefficients dont on dispose permette de donner à /un point mul-

6oO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

tiple d'ordre k — i partout où F a un point multiple d'ordre k (auquel cas nous dirons que /est une courbe adjointe de F), le nombre des points d'intersection dont on ne peut disposer

sera diminue de la quantité > ayt ~~ a. Il se réduira

donc :

1° OL X /?, si m>/i- 3;

a** \yK. p --- 1, si m^=: n — 3.

o89. La condition d'être adjointe donnant d relations linéaires et homogènes entre les coefficients de /", il existera toujours des adjointes si m^n — 3. Il en existera également pour ra=^ n — 3,si/)>>o (d'où n~:> i). Le nombre ]x des coefficients qui restent arbitraires dans l'adjointe la plus générale de degré m (ou, ce qui revient au même, le nombre des adjointes linéairement distinctes de degré m) sera donné par les formules suivantes :

1° Si /?2 >> /2 — 3,

{m — n - ! - 2 ) /i -h /? -t- Ai

Le nombre [x ainsi calculé devrait être augmenté si les d équations linéaires auxquelles doivent satisfaire les adjointes n'étaient pas distinctes. Il nous faut donc démontrer que ce cas ne peut se présenter.

590. Nous nous appuierons, à cet effet, sur le lemme suivant, cas particulier d'un théorème célèbre d'Abel, que nous démontrerons dans le Calcul intégral.

Soit ^(X, Y, Cl , C2, . . .) = o une courbe algébrique quelconque contenant dans son équation des paramètres c< , Co, ... et coupant la courbe F(X, Y) = o aux points

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 6oi

(X,, Y, ),..., (X;-, Y/), Si nous changeons C|, c->. ...

enciH-r/C), c^-^-dco^ ..., nous obtiendrons une autre courbe infiniment voisine, coupant F aux points

(X,-f-^X„Y,-+-^YO, ..., <Q?Xi , dY \^ . ' . étant donnés par les formules suivantes :

--^dXi-^- --^dYri- -j^dci-h... — 0.

Gela posé, soit/(X, Y) une quelconque des adjointes de degré n — 3 de la courbe F; on aura

' en.

591. Cette proposition étant admise, supposons que pour un certain degré m^n — 3 le nombre des coefficients indéterminés qui restent dans l'adjointe soit > ji.. En assujettissant l'adjointe à passer par ij. — i points r/, = (X<, Y i ), . . ., a^^i = (Xjj,i, Y^j;,i) choisis à volonté sur F, elle contiendra encore plus d'un coefficient indéterminé; on aura donc tout un faisceau d'adjointes passant par ces points. Soit G l'une d'elles; elle coupera encore F en v autres points

^[x = (-^[X5 ï;jj) •••5 ^a+v-l)

le nombre v étant <C [jl; car nous avons vu qu'il est égal à p, si m^ n — 3, à /? — r si /?^ =r /? — 3.

Gela posé, par les ijt. — i points «v+i, ..., «jj^+v i ? on peut faire passer un faisceau d'adjointes, ayant pour équation générale

et G sera l'une des courbes de ce faisceau. On aura donc pour des valeurs convenables assignées aux paramètres Ci , C2, ...

G =: Cl cp , -I- C, 'f 2 -h • • • = O.

6o2 PREMIÈRE PARTIE. ~ CHAPITRE V.

Changeons c, , c. , ... en c, + ^/c, , C2 -H dc^ , . . . , on aura une autre courbe C, coupant F, comme C, aux points multiples et aux points fixes «^v+t, ..., a^.j^-^s et, en outre, en des points

«; =(Xi-i- ^Xi, Yi4- ^Y,), . . . , «;=:(Xv4- r/Xv, x^ + dx^).

Or on sait qu'il existe au moins p adjointes linéairement distinctes, /, , . . . , /p de degré n — 3. Appliquant à v d'entre elles le théorème d'Abel, on aura v équations

Z (JF(X„Y,)"^^--^- A i,2,...,..

Ces équations, en nombre égal à celui des quantités <iXf ne pourraient être satisfaites qu'en supposant que les (iX/ sont tous nuls ou que le déterminant des coefficients est nul.

592. La première hypothèse doit être écartée. En effet, les courbes G et G' coupant F aux mêmes points, il en serait de même de la courbe

(5) C" = <iCiCpi -h <^C2cp2 -h. . . = 0,

quels que soient les rapports de <:/c,, ^ico, • • • • En les déterminant convenablement, on pourrait faire passer cette courbe par un nouveau point de F. Les courbes G'^ et F auraient ainsi plus de points communs que a'en comporte leur degré, et devraient avoir une partie commune; et comme F est indécomposable, on devrait avoir

^ étant un polynôme entier. Ge résultat est absurde, C'^ étant de degré moindre que F par rapport à la variable Y.

o93. La seconde hypothèse ne peut être vérifiée en général, mais seulement pour certaines positions particulières des

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 6o3

points a,, ..., «v, qu'on sera libre d'éviter, puisqu'ils font partie de la suite des points a,, . . ., a^\ , qu'on peut choisir arbitrairement sur F. Tout d'abord, si ces points sont pris à

distance finie, -^ j restera fini. Le déterminant qui doit

s'annuler deviendra, après la suppression des dénominateurs

' ' qui figurent en facteur commun

/,(X,,Y,), ..., /i(Xv,Y,)

/v(XnYi), ..., /v(Xv,Yv) Cette expression développée peut se mettre sous la forme

Ml, M2, ... étant indépendants de Xi, Y,. Pour que cette équation ait lieu pour une position arbitraire du point (X<, Y,) sur F, il faudra que son premier membre soit divisible parF(X,,Yi), et comme il est de degré moindre que F, il devra être identiquement nul. D'ailleurs les fonctions fi, /2-, ••• sont linéairement distinctes; donc il faut que les mineurs M^, M2, . .. soient tous nuls.

D'ailleurs, l'un quelconque de ces mineurs, tel qucMi, peut être mis sous la forme

N,/2(X„Y,)-i-... + Nv/v(X,,Y,),

et ne pourra s'annuler, pour toute position du point (Xo, Yo) sur F, que si les mineurs du second ordre N2, . . . , Nv sont nuls. Continuant ainsi, on voit que le déterminant ne peut s'annuler pour toutes les positions possibles de (X, , Yi ), . . . , (Xv i, Yv i) que si le point (Xv, Yv) est commun à F et à toutes les adjointes y*< , ...^f^.

594. Nous aurons en particulier, pour m ^^ n — 2, p -h 71 — I adjointes linéairement distinctes, rencontrant chacune F en 2/> + n — 2 points, outre les points multiples.

6o4 PREMIÈRK PARTIE. — CHAPITRE V.

Celles de ces adjointes qui passent par p -^ n -— ?> points fixes (2, =(Xi,Yi), ..., cip^n^^ formeront, en général, un faisceau à deux coefficients.

Chacune des courbes de ce faisceau coupera F aux points a,, . . ., ap^n-z et en /> -H I autres points. Si n > 3, ces derniers points seront toujours différents pour deux courbes différentes du faisceau si les points fixes <2,, ..., cip^n-s (dont le nombre est au moins égal à /? 4- i) n'ont pas des positions particulières.

Supposons, en effet, que l'un des p + i derniers points d'intersection fût nécessairement le même pour deux des courbes du faisceau et, par suite, pour toutes les autres. Soient C une courbe particulière du faisceau ; «i , . . . , a^p+n-^-i ses points de rencontre avec F. La courbe C appartient au faisceau des adjointes d'ordre n — 2 qui passent par les p -\- n — 3 points fixes ap^^^ ..., «2/j+«-2- Si ce dernier faisceau n'a que deux coefficients, toutes ses courbes devront, d'après notre liypothèse, avoir encore sur F un point commun, qui sera nécessairement l'un des points a,, ..., apj^\^ par exemple apj^\. Si, au contraire, le faisceau a plus de deux coefficients, on peut déterminer l'un d'eux en fonction des autres, faire en sorte que la courbe coirespondante passe par apj^\. Il restera encore au moins deux coefficients indéterminés. Nous obtenons donc, dans tous les cas, un faisceau de courbes adjointes passant toutes par les points a^^i , • • -, (i-ip^n-i et dont la courbe C fera partie.

Appliquons à ce faisceau le théorème d'Abel : en prenant successivement les p adjointes y,, ..., fp d'ordre n — 3, on aura les/? équations

V A(XoY,)

qui ne peuvent subsister que si les c/X^- sont tous nuls, ou si le déterminant de leurs coefficients est nul. Mais on a vu

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 6o5

que la première hypothèse est inadmissible, et que la seconde ne peut être vérifiée que pour des positions particulières des points a^^ . . .^ (ip.

59o. Cela posé^ considérons les adjointes d'ordre n — 2, qui passent par p -Y- n — 4 points fixes a, , . . ., ap^,j-', pris arbitrairement sur F. Elles forment un faisceau à trois coefficients

Cl cpi 4- C, Cp2 4- C3 O3 =^ 0 .

Soit a = (^, 'r\) un autre point pris arbitrairement sur F, et posons

Éliminant ?, r\ entre cette équation et

(7) F(^,rO = o, nous obtiendrons entre ^', r/ une équation

liée à F par la transformation (6). Cette transformation sera, en général, birationnelle. En effet, si à un point (^', 'f{) de F^ correspondaient, en vertu des équations (6) et (7), deux points de F, a = (Ç, -^) et ct,^ ■=. (^, , 7]< ), on aurait

de sorte que les deux adjointes d'ordre n — 2,

qui passent par les /? 4- /2 — 3 points «<, . . ., Œp^n-zy ^1 passeraient encore par un autre point a^ de F, ce qui, comme nous l'avons vu, ne peut avoir lieu pour des positions arbitraires des points «i , . . ., a.

6o6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

596. La courbe transformée sera donc du même genre que F. Cherchons à déterminer son degré n^ . Posons, pour rétablir l'homogénéité,

\ — ~. ri^^, ^'=-, 7)'=:^',

La courbe F aura pour équation <I) := o, et la transformation (6) pourra s'écrire

(L^ , ^^^ ^3 étant des polynômes d'ordre n — 2 ; enfin la transformée aura une équation de la forme

Le degré cherché est le nombre d'intersections de la courbe <ï>' avec la droite arbitraire

Xj^' 4- X2/' -f-Xas' — o.

A chacun de ces points correspond sur F un point (^,JK, ^) satisfaisant aux deux relations

Ces deux équations simultanées, de degrés n — 2 et « respectivement, définissent n(^n — 2) points, dont chacun correspondra réciproquement à un point commun à

Xl^' -H X2J' -i-XgS' = 0, *'— O,

pourvu que <!;<, d/o, 'i^a ne s'annulent pas à la fois.

On voit donc que n! est égal au nombre des intersections des deux courbes (9) qui sont variables avec X,, X25 ^3- Ce nombre est /? + 2. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Toute courbe de genre p > o peut être changée par une transformation hirationnelle en une courbe de même genre, et de degré p -^ 'i.

597. Il nous reste à étudier les courbes de genre zéro, dites courbes unicur sales.

Soient F = o une semblable courbe; cp<, cpo deux de ses adjointes, d'un même degré m et coupant F, la première aux points a^^ ..., «[i 2, a, la seconde aux points a,, ..., aj;,2, p. Elles n'auront pas d'autres points de rencontre avec F, puisque p est nul.

Considérons les adjointes du faisceau

Chacune d'elles coupera F aux points a,, . .., «[x--2, et en un autre point (^, 'f\) variable avec le rapport - ^^ t. Pour

obtenir ?, on éliminera 't\ entre les équations F = o, C\ cpi -1- C2^2 = o, et l'on supprimera, dans l'équation finale, les facteurs correspondants aux racines fixes; il restera une équation du premier degré, d'où l'on déduira ^=rR(^), R désignant une fraction rationnelle. On trouvera de même -ri = R,(^), R< étant également rationnel.

L'équation F = o sera donc équivalente au système des deux suivantes :

^=.R(0, Vi=:::R,(0.

A chaque point (^, t,) de F correspondra, en général, une valeur unique de t. Car si deux adjointes différentes Cl cpi -h C2Ç>2i c', cp, + c'^cpo passent par le point (^, -^l), cpi et cp2 y passeront aussi; (ç, '/i) sera donc un des points communs à cp< , cp2, F, c'est-à-dire un point multiple, ou l'un des points a,, . . ., aj/,2.

Pour obtenir la valeur de t correspondante à l'un de ces points particuliers A, on supposera que le point (^, ti), d'abord différent de ce point, s'en rapproche indéfiniment, et l'on cherchera la valeur limite vers laquelle tend t. Ce sera celle que nous ferons correspondre au point A.

Si ce point est multiple d'ordre k, on pourra supposer successivement le point (Ç, rj) placé sur chacune des k bran-

6o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

ches de F qui se croisent en A; on obtiendra ainsi k valeurs de t correspondantes à ce point.

598. Considérons réciproquement une courbe F définie par les équations

R et R, désignant des fractions rationnelles. Réduisant ces fractions au même dénominateur, on pourra les mettre sous la forme

C5,, C92, CO3 étant trois polynômes sans facteur commun.

Cherchons coml:)ien de valeurs du paramètre t correspondent, en général, à un même point de la courbe. Soit ti l'une d'elles; les valeurs cherchées seront les solutions communes aux deux équations

(10) R(0)-=R(^O, Ri(0)::=R,(O,

(II

j P(e,^,) =cp,(6)cp3(/^^)-cp3(0)9,(^0 = o,

Les deux polynômes P et P^ sont divisibles par G — t mais ils peuvent avoir d'autres diviseurs communs. Soit en général D(8, ti) leur plus grand commun diviseur; on aura

P(o, ^,)-:.D(e, ^,)Q(e,^0, p,(o,^0^-D(o,^i)Qi(^^i).

Les deux équations Q :— o, Qi = o ne pourront avoir de racine commune que pour des valeurs particulières de ^<. Les solutions communes aux deux équations (11) se réduiront donc (lorsque ^, reste indéterminé) aux racines de l'équation

Ces racines sont généralement distinctes, car une racine

double devrait satisfaire non seulement aux équations (lo), mais à leurs dérivées

équations algébriques qui n'admettent qu'un nombre limité de valeurs de 9; et les valeurs correspondantes de ^j, déduites des équations (lo), seraient également en nombre limité. Soit donc

D(6, ^i)--=A(^OQ'"-i-Ai(^i)e— i-r-...-i-A,„(^i);

les équations (lo) admettront, en général, m racines communes distinctes ti, .. ., ^,;i, solutions de l'équation

Si l'on permute les deux variables Q et ^i, les deux polynômes P et P^ changent simplement de signe; leur plus grand commun diviseur D doit donc se reproduire à une constante près; il est donc du degré m en t^. L'un au moins des polynômes A, A, , . . ., par exemple Ajj^, sera de degré m, les autres étant de degré ^ m. En particulier, A sera de degré inférieur à m; car, s'il en était autrement, D ne pourrait s'annuler identiquement pour 0 = ^^ , ainsi que cela doit être ; carD(^i, ti) contiendrait un terme en t^'^ qui ne pourrait se réduire avec les autres.

D'autre part, ti désignant l'une quelconque des racines

, tfjij on aura

^{ti) =

^es

équations

seront donc équivalentes aux équations (lo). L'équation D(B, ti), qui fournit les racines communes à ces équations, sera donc équivalente à D(8, ^^ ) = o. On aura, par suite,

A^.(^/) ^ Mil) A(^,)^'" Mil)'

6lO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

Si donc nous posons

à chaque valeur de ce nouveau paramètre u correspondront m valeurs de t et précisément celles qui correspondent ellesmêmes à un même point {\, '/]) de la courbe F; et ^, Tj étant des fonctions algébriques de u, qui n'ont qu'une seule valeur pour chaque valeur de u, seront rationnels en u.

On voit ainsi que, si les coordonnées d'un point d'une courbe sont exprimables en fonction rationnelle d'un paramètre, on pourra toujours, en changeant au besoin le paramètre, faire en sorte qu'à chaque point de la courbe corresponde une seule valeur du paramètre.

599. Supposons cette condition réalisée, avec le paramètre t, pour une courbe F définie par les équations

nous allons établir que cette courbe est unicursale.

Les fonctions K(^), Ri (t) peuvent être supposées réduites au même dénominateur. Passant aux coordonnées homogènes, en posant ^= -, yj i=r ^ les équations de la courbe pourront s'écrire

Ti, To, T;5 étant des polynômes en T.

Par une transformation birationnelle

nous pouvons changer la courbe F en une autre F' de même genre />, n'ayant que des cycles d'ordre i. Les équations de, cette nouvelle courbe seront de la forme

A cliaque point {.x'.y', z') correspondra d'ailleurs, en gé-

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 6ll

néral, un seul point (x, y, z), et par suite une seule valeur de t.

e^—bt'-h bit'-'^-^.. .,

l'un au moins des trois coefficients a^ b, c étant ^ o. D'ailleurs, si t croît indéfiniment, on aura, en posant t= — ^j

œ' : y' : z' :: a ^ ai t' -h . . . : b -h bi t' -i- . . . : c ^ Cit' -\- . . . ,

Ces équations définissent un cjcle de F', qui doit être d'ordre i, par hypothèse; donc l'un au moins des trois déminants abi — a^ è, bCi — b^ c, ca^ — c^ a sera ^o.

Le degré n de la courbe F' est le nombre de ses intersections avec une droite arbitraire

Les t correspondants sont les racines de l'équation de degré 5

et à chacune d'elles correspond un point distinct de F'. Donc

Cherchons d'autre part la classe v de F'.

Une droite

ux -\- vy -\-wz^=iQ>

sera tangente à F' au point t si l'on a

Elle passera, en outre, par un point donné arbitrairement a, [^, y, si l'on a

wa-i-ç^p -1-(^Y = 0.

Éliminant w, v^ w entre ces trois équations, on aura, pour

6l2 PREMIÈRE PARTIE. — CHAP. V. — COURBES PLANES ALGÉBRIQUES.

déterminer les points de F' dont la tangente passe par a, p, y, l'équation

02 0; — 03 0;=— (èci — b^c) ^25-2^. . .,

L'équation en ^ est donc de degré is — 2, et v = s»? — ^2. Cela posé, F^ n'ayant que des cycles d'ordre i, son genre/? sera défini par la relation

2/? — 2=:v — in ~- 2S — 2 — 25= — 2.

Donc/? = o, et les courbes F', F seront unicursales.