A un cycle G de F correspondra un cycle QJ de F
T, , T!,, T'3 représentant les fonctions
débarrassées toutefois, s'il y a lieu, de la puissance de t qu'elles pourraient contenir toutes trois en facteur commun. Les points de G', correspondant uniformément à ceux de G, correspondront uniformément, comme ceux-ci, aux valeurs du paramètre t.
Si G est d'ordre r et a pour origine le point (xq, yo, Zq), on aura
Ti = ^o+ «^^'■+- --, T2=:7o-H bV'-^..., T^ — z^-\-cl''-^. . .
/,(T,,T,,T3)=/,(^o,,ro.^o) + («|^ + ^^^4-c^^r+...,
Le cycle G' aura donc, en général, pour origine le point correspondant à [xq^ y^^ Zq), et son ordre sera r. Toutefois, cet ordre s'élèvera si '
/i(^o, 7o, -0), f%{^Q, yq,zq)^ fA^o^ yo,^-o),
596 PREMlÈRi: PARTIE. — CHAPITRE V.
sans être nuls siinultancuient, sont proportionnels à
ôocq dfo àzQ*
Enfin, si ces trois quantités s'annulent à la fois, auquel cas les équations (i) cessent de définir les rapports x' '.y ', z\ on aura à supprimer la puissance de t qui figure en facteur commun dans /< (T,, To, T3), .... Le cycle G' aura pour origine vin point (^y, jk'o? ^0)' ^"^ nous considérerons comme le correspondant de (^q, j^'q, ^q)-
Enfin, si le point (^07^07^0)5 ^^f\^f-2->f'i s'annulent, est l'origine de plusieurs cycles G, Ci, ... de F, ils auront pour correspondants des cycles G^, G'^ , . . ., ayant pour origines
des points {x^, f'^, z'^), (<< , /oi > ^oi )' •••; ^^ ^^ P^ii^t {oCq^ Jq^ Zq) correspondra à l'un ou à l'autre de ces points, suivant qu'on le considère comme limite de points situés sur G, ou sur G^ ....
Il peut donc exister sur F des points ayant plusieurs correspondants sur F^ Mais ces points devront être multiples sur F, et situés sur /0/25/3 5 leur nombre est donc limité.
Réciproquement, un point multiple de F', situé sur/',, /Ij/g, aurait plusieurs correspondants sur F.
586. L'existence d'un élément invariant par toute transformation birationnelle peut s'établir comme il suit :
Les deux courbes F et F' étant supposées liées par la relation (i), posons
Gela posé.
étant une fonction de X, Y et -r^i la somme de ses ordres
aX
par rapport à t, pour tous les cycles de F, est nulle.
zz
dX'
dX ~
dX!
âX
dX' dY ÔY dX
'di
La somme des ordres de la fonction -7- ? pour la
d\' courbe F, est donc égale à la somme correspondante, —j,- ■>
pour la courbe F'.
L'existence de cet invariant étant établie son expression est aisée à trouver. On a, en effet,
dx dz
dX ^'dt " ^ dt
dt z^
Or nous avons vu (569-570) que la somme des ordres du numérateur est égale à S(r — i H- too) ^^ v H- S(r — i) -, celle des ordres du dénominateur sera in. L'invariant cherché sera
donc
Posons
