I. — Limites

1. L'objet primiLif de l'Arithmétique est l'étude des nombres entiers.

Pour pouvoir exécuter, dans tous les cas, la résolution des équations du premier degré, on a dû étendre cette première conception, par l'introduction des nombres négatifs et des nombres fractionnaires. On obtient ainsi l'ensemble des nombres rationnels.

La résolution des équations de degré >> i exige de nouvelles généralisations. Les principes sur lesquels elles reposent sont intimement liés à ceux du Calcul infinitésimal, et nous devons les exposer brièvement.

2. Nombres irrationnels. — Soient A et B deux systèmes de nombres rationnels jouissant des propriétés suivantes :

t" Tout nombre de B est plus grand que tout nombre de A;

2^ On peut toujours déterminer dans A et B respectivement deux nombres a et b^ tels que l'on ait

quel que soit le nombre positif £, donné a p/iori.

Ces hypothèses admises, les nombres (rationnels) pourront se répartir en trois classes :

La première JL contiendra tous les nombres inférieurs à quelqu'un des nombres de A; la seconde \)1> tous les nombres supérieurs à quelque nombre de B; la troisième G, ceux qui ne sont ni inférieurs à un nombre A, ni supérieurs à un nombre B.

Il est impossible que cette classe G contienne deux nombres différents c et c' <C c. On aurait, en effet, quel que fui le choix de a et de b^

a ^ c', b ~ c, d'où b — a^ c — c',

résultat contraire à notre seconde hypothèse.

Elle peut contenir un nombre unique c (ce cas se présentera, par exemple, si l'on prend pour A l'ensemble des nombres <; c, et pour B l'ensemble des nombres >> c).

Mais il peut arriver aussi qu'elle n'en contienne aucun (on sait qu'il en sera ainsi si l'on prend pour A la suite des réduites de rang impair, pour B celle des réduites de rani; pair d'une fraction continue illimitée).

Nous ferons disparaître cette distinction, en disant que. dans le second cas, il existe encore un nombre c plus grand que tous les ol> et plus petit que tous les a)i), mais que ce nbmbre est irrationnel.

L'ensemble des nombres ainsi obtenus, tant rationnels qu'irrationnels, constitue le système des nombres réels.

VAHIABLES RÉELLES. 3

ChacuQ de ces nombres est défini, comme on le voit, par la connaissance des nombres rationnels qui sont plus petits que Uii,' et de cenx qui sont, an contraire, pins grands que lui.

3. Si un nombre rationnel /• est plus petit (plus grand) qu'un nombre réel c, il est clair, d'après nos définitions, que tout nombre rationnel /'plus petit (plus grand) que r sera çi fortiori plus petit (plus grand) que c.

Mais on peut démontrer qu'// existe, en outre, une infinité de nombres rationnels compris dans V intervalle de r à c.

En effet, si c est rationnel, tous les nombres /•-}- //z (c — /*), où m est une fraction quelconque comprise entre o et i , satisfont à cette condition.

Si c est irrationnel, supposons, pour fixer les idées, c >> /■. Soient A, B les deux systèmes de nombres rationnels qui déterminent c. Tout nombre rationnel appartient, par liypotlièse, à l'une des deux classes -A> et \ll>, définies comme cidessus.

Le nombre r <i c appartient à la classe d,. 11 est donc moindre qu'un nombre a du système A. Ce nombre a étant plus petit que tous les B n'appartient ])as à la classe iH) : c'est donc un nombre X. Donc il est moindre qu'un autre nombre «, du système A. Continuant ainsi, on obtiendra une suite infinie de nombres rationnels croissants /•, «, «(, . . ., et tous <c-

On dira qu'un nombre réel c est plus grand qu'un autre nombre réel c', s'il existe un nombre rationnel /* qui soit <<6' et >> c'. Dans ce cas, tous les nombres rationnels, en nombre infini, compris entre c et /', ou entre /• et c', jouiront de la même propriété.

Il est clair que, si c >> c' et <?'> c'\ on aura c >> c" .

Enfin, entre deux nombres rationnels quelconques r et /'+ s, il existe nécessairement un nombre irrationnel (et, par suite, une infinité).

Soit, en effet, c un nombre irrationnel défini par les deux systèmes de nombres rationnels A et B. On peut déterminer dans ces systèmes deux nombres a et b^ dont la différence soit << £, et comprenant entre eux le nombre c.

Soient A,, B, les deux systèmes obtenus en ajoutant la constante r — ah tous les nombres de A et de B. Il est évident que ces nouveaux systèmes ont les qualités requises pour définir un nouveau nombre irrationnel, compris entre /• et /' + £.

Un nombre réel c. sera dit positif, s'il est >> o (auquel cas

il sera encore supérieur à une infinité de nombres rationnels

positifs); négatif, s'il est < o.

Les inégalités

b — <2 >■ o, b — a <Cz

pouvant s'écrire ainsi

on voit qu'à tout nombre réel c, défini par le système des nombres a et celui des nombres b^ correspond un autre nombre de signe opposé, défini par le système des nombres — b et celui des nombres — (t. Nous désignerons ce nombre ])ar — c. On aura, d'après cette définition,

i. Il nous reste à généraliser Ja définition des opérations de l'xVrithmétique, pour les rendre applicables à tout nombre réel.

Soient c, c' deux semblables nombres, définis respectivement par les systèmes A, B; A', B'. Soient a, b; a', b' des nombi'cs pris respeclivcment dans ces systèmes, on aura

Mais, d'autre part, on j)0urra choisir a, b^ a' ^ b' c!e telle sorte qu'on ait

d'où

Le système des nombres a 4- «' et celui des nombres b -\- b' définiront donc un nombre réel, que nous appellerons c-hc'.

De même, le système des nombres b — «' et celui des nombres a — b^ définiront un nombre, que nous appelleroDS c — c'.

On a évidemment, d'après cette définition,

La soustraction est d'ailleurs l'opération inverse de l'addition, de telle sorte que le nombre (c — c')-^c'=Ct n'est autre que c. Pour le montrer, nous prouverons que tout nombre rationnel >> c est > c,, et réciproquement.

Les nombres ^ c sont ceux qui sont plus grands que Tun des nombres 6, les nombres >> <?< ceux qui sont plus grands que l'un des nombres b — a'-h b'.

Or, tout nombre x ^ b — a'-\- b' est a foi'tlorl >- 6, car

D'autre part, si .r >> c, on pourra déterminer entre x et c une infinité de nombres rationnels encore ^ c Soit X — £ = b l'un d'eux ; on aura

si l'on choisit a' et b' de telle sorte que b' — a' soit < s.

5. Pour définir la multiplication et la division, nous supposerons d'abord c et c' positifs.

Soient a, a! des nombres fixes choisis d'avance arbitrairement parmi les nombres positifs contenus dans les systèmes A, A'; p, P' des nombres fixes (nécessairement positifs) choisis d'avance dans les systèmes B, B'; «, />, a' , b' des nombres positifs à choisir dans ces mêmes systèmes; on aura toujours

bb'~>aa, ->>Ty

6 PRKMlkUE PAUTIK. — CHAPITRE I.

Mais on peut choisir ces nombres de telle sorte que l'on ait

0 étant une quantité à déterminer ultérieurement.

11 est d'ailleurs permis de supposer, en outre, que a et b sont contenus dans l'intervalle de a à fi, a' et b' dans l'intervalle de cfJ à ^'. En efifet, <7, par exemple, est sûrement << [3. S'il est < a, on aura ^ — a<^ — «<o. On pourrait donc substituer a à a, tout en maintenant l'inégalité demandée.

Gela posé, on aura

bb' — aa' <i {a -f- o) {a'-\- o) — aa'

b a bb'— aa' ( ^ + 3') a -i- 3^ a!" V " ~"a^b'~ ^ 1^^^ "

Si donc on détermine o de manière à satisfaire à la fols aux

on aura

bb'—aa'< (?-i-p'+i)o<£,

Le système des nombres <7«', joint à celui des nombres bb' ^

€t le système des nombres -7-,) ioint à celui des nombres — , > •^ b' ^ a'

<léfinlssent donc deux nombres réels, que nous désignerons

, c respectivement par ce et —, •

La division ainsi définie est l'inverse de la multiplication. Pour l'établir, il faut prouver l'identité des deux nombres

- c''=c, et c, en montrant que les nombres rationnels supérieurs à l'un le sont à l'autre, et réciproquement.

Soit X \\i\ nombre >> c,. Il sera, yiar définition, plus grand

qu'un des nombres — h' , et, a fortiori^ plus grand que le

nombre h ; il sera donc >> c.

Réciproquement, si ^ >> c, il existera nn autre nombre rationnel x — £ encore plus grand que c, c'est-à-dire plus grand qu'un nombre b. Or on ])eut déterminer, quel que soit 0, o! et b\ de telle sorte que l'on ait V <^ «'+ 8, d'où

oc £ b

Si l'on choisit 8 moindre que — - ? on aura x^ —, b' . Donc

x^ Ci.

Pour étendre la définition de la multiplication et de la division au cas où l'un des facteurs, ou tous les deux, sont négatifs, on appliquera la règle des signes. Enfin on admet qu'un produit est nul, si l'un des facteurs est nul.

On voit, sans aucune difficulté, que les opérations ainsi généralisées, appliquées à des nombres rationnels, donnent les mêmes résultats que les opérations ordinaires, et que les règles du calcul algébrique subsistent sans aucun changement.

6. On nomme valeur absolue ou module d'un nombre réel c ce nombre lui-même, s'il est positif, le nombre — c, si c est négatif. Ce module se désigne souvent par la notation | c |.

On a évidemment

\a\\b\ = \ab\,

7. Soient A, B deux systèmes de nombres réels tels : I** que tout nombre B soit plus grand que tout nombre A; 2" qu'on puisse toujours déterminer dans A et B deux nombres a et b tels que b — a soit << s. Il existera un noQibre réel unique c tel que l'on ait constamment

Soient, en effet. A' le svstème des nombres rationnels

8 PREMifellE PARTIE. — CHAPITRE I.

inférieurs à l'un au moins des nombres A; B' le système des nombres rationnels supérieurs à l'un au moins des nombres B. Les nombres B' seront plus grands que les nombres A'.

D'autre part, déterminons dans A et B deux nombres a

et b tels que b — a << 5- On peut déterminer deux nombres

rationnels comprenant a et dont la diflerence soit <C ^- le ]3lus petit a' de ces deux nombres appartient à A', et l'on a

On peut de même déterminer dans B' un nombre b' tel que b' — b soit << -. On aura, par suite,

Les systèmes A', B' étant formés de nombres rationnels déterminent un nombre réel c plus grand que tous les a' et moindre que les b' . Ce nombre satisfait aux conditions requises. En effet, s'il était moindre qu'un nombre a de A, it existerait entre acte des nombres rationnels d plus grands (jue c, contrairement à la définition de c. S'il était plus grand qu'un nombre b de B, on arriverait à une contradiction analogue.

On voit d'ailleurs, comme au n° 2, que le nombre c est unique de son espèce.

8. Limites. — Soit x une quantité variable, à laquelle on donne successivement une suite illimitée de valeurs x^, .... Xn^ On dit que la suite Xs^ . . . , Xn-, • • • , ou, d'une manière plus abrégée, la variable x tend ou converge vers la limite c si, pour toute valeur de la quantité positive £, on peut assigner un entier v, tel que l'on ait

\0Ca—c\<Z

pour toutes les valeurs de n supérieures à v.

La variable x ne peut tendre à la fois vers deux limites différentes c et c'; car on a

d'où

Donc, quel que soit n^ l'un au moins des deux modules

sera au moins égal à ^ | c' — c\.

11 importe de transformer la définition précédente, de manière à pouvoir prouver l'existence d'une limite, lors même qu'on ne serait pas en mesure de la déterminer.

9. Théorème. — Pour que la suite Xi^ . . . , œ,i, • • • tende vers une limite, il faut et il suffit qu^ on puisse trouver une suite £i^ ..., £/i, ... de nombres positifs non croissants, ayant pour limite zéro, et tels que Von ait, pour toutes les valeurs des entiers n et p^

1° Supposons, en effet, que la suite ^,, ..., x,,^ ... tende vers une limite c. Soient o<, . . . , 8,,^, . . . une suite de nombres positifs décroissants ayant zéro pour limite. On pourra, par hypothèse, déterminer pour chaque valeur de m un entier ^m tel que l'on ait constamment, dès que n est

Si n ^v,, mais az +/? >> Vi, on aura d'autre part

I ^ Il ^n+-p I < 1 ^n ^ I "^ I "^n-hp ^ | < ^ ^~ 2 ^1 '

e désignant la plus grande des quantités \Xi — c|, ...,

\xy^—c\.

lO PREMIÈRE PARTIE- — CHAPITRE I.

Enfin, si n et n -\- p no sont ni l'nn ni l'autre >-v,, on aura

I oc,,— x„^p I = I ^,^ c I 4- I x,^^j,~-c I < '2e.

Définissons maintenant une suite de quantités positives

£ 1 , , . . , £//, ... par les relations

On aura constamment

D'ailleurs les quantités e^^ forment une suite non croissante, et t,i tend vers zéro quand n tend vers co. Car on peut prendre m de telle sorte que o^,^ soit moindre cju'une quantité quelconque £, et il suffira de prendre ensuite n'^y„i pour être sûr d'avoir

2" Réciproquement, supposons qu'on ait pu déterminer, une suite £i, ..., £,/, ... de nombres positifs ayant pour limite zéro, et tels que Ton ait, au moins pour les valeurs de n qui surpassent un nombre fixe /??,

et proposons-nous de démontrer que la suite ^,, . . . , œ„, ... lend vers une limite.

Désignons par a^ la plus grande des quantités

par ^v la plus petite des quantités on aura évidemment

<^v > <^\i, ^v < ^[X) si V > JJ..

i VARIABLES RÉKLLES. I I

D'au ire pari, rinégalilé (i) peut s'écrire

, d'où

Supposons /î^v el cliangeons dans celle équation p en î /; + V — /i ; elle devient

et comme elle a lieu pour les valeurs /i = //i + i , . . . , v, on en déduit

Plus généralement, {jl et v étant deux entiers positifs quelconques ^ ;??, et X le plus grand des deux, on aura, par la combinaison des inégalités ci-dessus,

Donc, tout nombre h est plus grand que tout nombre a. Mais on a d'autre part

m, b^, — Cfy~ { ,Z\, -+- Sv ) — ( Xy — £v ) < 2 £v,

quantité qui peut être rendue << s en prenant v assez grand. Donc les deux systèmes de nombres a et b déterminent un nombre c. Ce nombre et le nombre ^v+/7 étant tous deux compris entre a^ et ^v^ on aura

ce qui est précisément la condition pour que les quantités x

10. GoROLLAiiiE. — SI les quantités Xn sont telles que l'on ait toujours

elles tendront vers une limite c ou croîtront de manière à surpasser finalement toute grandeur donnée E.

lin effet, supposons en premier lieu que, pour toute valeur

^ Of TE»

de Ja quantité positive o, on puisse déterminer un entier v tel que l'on ait constamment

Xy^p Xy <C^ 0 ,

quel que soit/>.

Donnons à o une suite de valeurs Oi, Oo, ... convergeant vers zéro; soient Vi, Vo, , . . les valeurs correspondantes de v.

Soit, d'autre part, n un nombre ^v^ mais << v^f.,. On aura

\ X n X ii^p I "Tt: Xji^p X n ^ Xfi^p «^^v^t?

et si l'on pose n -{-/) = v^ -j- ^,

Si donc on définit les quantités îv,, • • • •> -«, • • • par la condition

-n~'^k quand /i = v/,<vyi.^i, on aura i

Les quantités z,ii ainsi définies, convergeant vers zéro, les quantités x,i tendront vers une limite. j

Supposons, au contraire, qu'il existe une quantité o pour laquelle il soit impossible de déterminer une quantité v correspondante. On pourra, quel que soit n, déterminer un nombre n-\- p ^=^ n^ tel que Xn^ — ^n soit plus grand que 8. Nous pourrons donc déterminer une suite illimitée de nombres i, /2,, /?2, ..., /za, ... tels que l'on ait

d'où

Ce nombre deviendra plus grand que le nombre donné ¥^ des que k sera supérieur a ^

11. Si la variable x tend vers la limite c, — x tend vers la limite — c.

Celte proposition est évidente; car on a

\jc — c\ — \ — J^-\-c\.

Si donc on a pour n > v

on aura en même temps