Si la variable x tend vers une limite c différenle

de zéro, — tendra vers la limite -•

Posons, en effet, Xn

In

z,ii ; on aura

|c||c + ?„| <|cUlcl-|?„|)

quantité qui deviendra <^ î, dès que n sera devenu assez grand pour qu'on ait

Si X tend vers la limite zéro, on pourra, quelle que soit la quantité positive E, déterminer un nombre v tel qu'on ait, j)our toute valeur de n plus grande que v,

\^'a\< Yr

d'où

Donc — ne tend vers aucune limite. Nous conviendrons tou-

tefois de dire qu'il tend vers ce.

Si, en tendant vers oo, x reste à partir d'un certain moment constamment positif, on dira qu'il tend vers + ^c- S'il reste constamment nésalif, il tendra vers — ce.

13. Soient x, y deux quantités variables simultanément, et prenant respectivement les suites de valeurs x,, V',; ...; x,i,y,i, •••• Si x, y tendent respectivement vers

l4 PREMIËRE PARTIE. — CHAPITRE I.

des limites finies c, d^ ^-{-y et xy tendront vers les limites c + d, cd.

Posons, en effet,

^/t c ^^ c,i, y n cl z=z T^fi.

On pourra, par définition, quelle que soit la quantité posi-j' live 0, déterminer deux quantités v, et Vo, telles que l'on ait

I ;,, I <ô, si /i > v^, |t,„| <Ô, si «> V2,

I ^« ! < ^» |'^.« 1 < s si n > V,

V désignant la plus grande des quantités v^ et Vo. Cela posé, on a

\^'n-^yn-{C-\- ^01 = 1 l. + '^w. I < NM + I r,,, I < 25, \ao„y„—cd\=: \ cr,,,-^ d'c^„+ \„r^„ I

< KM V'uA-^\d\ 1^,, |4-!^,, I |t,j

Les seconds mendjres de ces inégalités seront < £ si Ton

détermine l'arbitraire ù de telle sorte qu'on ait en même temps

Notre proposition est donc démontrée.

Si X tend vers go, y continuant à tendre vers une limite finie d^ on pourra, de môme, quelles que soient les arbitraires E' et 0, déterminer un nombre v tel que l'on ait

\Xn\> •'-', I /« — <^ I < ^ si /i > V,

d'où