Soit

F(.ri, . . . , cTp, z^ Cx^ . . . , C/,) =1 o

une équation contenant n constantes arbitraires et définissant une fonction z des p variables indépendantes x^^ . . ., Xp. On pourra joindre à cette équation ses p dérivées partielles

dxx dz dxx '

dY dV dz __ âxp dz dxp

jjar rapport à chacune des variables indépendantes x^^ ..

Xp^ puis ses ' dérivées partielles du second ordre

ân^ d'~¥ dz d^¥ / dzY dV â'z

ôxf ôx^âz dxy ôz^ \àxi/ ôz dxl

et ainsi de suite jusqu'à ce que le nombre total

P( p -f- i) /? ( /? -t- I ) . . . ( yo + p — T )

des équations ainsi obtenues surpasse le nombre /i des constantes arbitraires. Eliminant ces 7i constantes entre les k équations, on obtiendra un système de k — n équations aux dérivées partielles d'ordre p, à chacune desquelles z satisfera, quelles que soient les valeurs des constantes c< , . . ., c,/.

173. Considérons maintenant la fonction z définie par l'équation plus générale

l6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 1.

OÙ a<, ..., a^,, [3,, ..., j3^,, ... désigaent des fonctions connues de ^,, . . ., Xp^ z, et cp,, cp2, ... des fonctions arbitraires. Joignons à cette équation ses dérivées partielles successives des ordres i , 2, . . ., p. Nous obtiendrons ainsi

équations, dans lesquelles figureront les quantités suivantes : 1" cCi, ..., Xp, z et ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre p ;

2" la fonction co, et ses dérivées partielles -—--, ■•, , ' ? -y-^, • • • jusqu'à l'ordre p, la fonction cp2 et ses dérivées partielles—7-^? ••• iusqu'à l'ordre p, etc. Le nombre l de ces dernières quantités sera évidemment égal à

// désignant le nombre des fonctions o,, cpo, ....

Donnons successivement à p les valeurs i, 2, 3, M

arrivera nécessairement un moment où le nombre k des équations surpassera le nombre /. En effet, en changeant p en

p 4- 1 , on accroît le nombre des équations de

tandis que le nombre / s'accroît de n . . ■

quantité inférieure à la précédente, si p -\- p '^ n[p — i). Donc, dès que p surpassera n{p — i) — /?, A' croîtra plus rapidement que /et finira par le surpasser. A ce moment, on pourra éliminer entre les A^ équations obtenues les fonctions cp,, ..., ^,1 et leurs dérivées partielles; on obtiendra ainsi k — / équations entre x^^ ..., Xp^ z et ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre p, et la fonction z satisfera à ce système d'équations, de quelque manière que soient choisies les (onctions arbitraires cp,, .. ., cp,^.

Nous allons faire quelques applications de cette théorie.

VARIABLES RÉELLES. l6l

174. Supposons d'abord que l'équation qui détermine z soit de la forme

(8) F(mi, u^, ..-, iip)^o,

Ut, . . ., Up désignant des fonctions connues des variables indépendantes x^, . . . , ^^ et de ^. Si l'on conçoit que z ait été remplacé par sa valeur en ^i, ..., JOp, ?/,, ..., Up deviendront des fonctions de ^<, ..., Xp seulement, ayant pour dérivées partielles

àiti âui dz

âui dz dz d^i

dup dz dz d^i

du^ d.v

p dup dz^ p dz dxp

Pour que ces fonctions soient liées par une relation telle

(pie (8), il faut et il suffit que leur jacobien soit nul : on

pourra donc écrire immédiatement l'équation aux dérivées

partielles

D^, Up . • •

à laquelle z doit satisfaire.

Voici quelques exemples :