X -f- yy' -h « 4- by' = o

(nous avons supprimé le facteur 2 pour plus de simplicité),

'^yy"-^yy"-^ày"'=o.

Eliminant b entre ces deux dernières équations, nous ob-

VARIABLES RÉELLES. iSy

tiendrons V équation différentielle des cercles

OU, en réduisant,

169. L'équation différentielle des coniques a été obtenue par M. Halphen de la manière suivante :

L'ordonnée jK d'une conique est définie par l'équation

y ^:^ ax ^ h -±1 {p x'^ ^ 'iq X -\- ry- .

On en déduit, par des dérivations successives,

y' =. a±{px -^ q){px'^+ iqx ^ r) ^

y" :^±:p{px'^^2qx^-r) '^ zf [px -^q)- {px^ -^ 2qx -\- r) ^

__,^ pipx^^ 2qx ^ r) — {px -^ qY

{px^-h 2qx -+- r)^

(/>j&-2+ 2qx -1- /•)■'

d'où

(5) ^./-l^ px'--\-2qx-\-r

[pr-q'Y

et, en effectuant trois nouvelles .dérivations,

Si la conique est une parabole, p sera nul. Le second membre de l'équation (5) ne contenant pas de terme en x-, deux dérivations suffiront pour faire disparaître les autres constantes. L'équation différentielle des paraboles sera donc

(7) {y"-^yr=:o.

; Il est aisé d'obtenir les équations (6) et (r) sous forme

l58 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

développée. On a, en effel.

Portant ces valeurs dans les équations (6) et (7), chassant les dénominateurs et supprimant le facteur commun 2, il viendra, pour l'équation générale des coniques,

— ^or'"^ -4- 45 r" y"'/''— 9 y"^ r'"= o

et, pour celle des paraboles,

170. Glierclions enfin Ja condition pour que des fonctions yK-, y^i •••7 y II d'une même variable x soient liées par une équation linéaire à coefficients constants

Prenant les dérivées successives de cette équation, il

dra

Giji -+-G2/; -^•••-+-G„/; =0,

-hG2/r"+--'+c„7r^'=o

!t, en éliminant les constantes.