Le rapport des deux nombres a -\- bi et a' + b' i

sera le nombre x -^yi qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende. On devra donc avoir

a + bl = (a'-h b' i) {x -^ yi) = a'x — b' y -^ i{b'x + a' y).

Cette équation se décompose dans les deux suivantes

d'où l'on tire

bb' ba'—ab'

Le problème comporte donc une solution unique et toujours admissible, si le diviseur «'+ b' i est différent de zéro.

Il est manifeste que les règles du calcul algébrique s'étendent aux nombres complexes.

187. On dit qu'un nombre complexe variable x -\- iy tend vers une limite fixe c -\~ di^ si

\x -\- iy — (c H- di) \ z=:zy{x — cy--^ (j — d^

tend vers zéro.

Cette expression est au moins égale à \x — c\ età|j — d\. Elle ne peut donc tendre vers zéro que si x tend vers c el y vers d.

Cette condition est suffisante, car on a

\x ^ iy — c -^ dL\'^\x — c ] + I j' — d\,

et les deux termes du second membre tendent vers zéro, si x tend vers c et y vers d.

Les propriétés des modules d'une somme algébrique ou d'un produit démontrées aux n°^ 181 et 185 sont précisément les mêmes qui ont été signalées au n*' 6 dans le cas particulier des nombres réels et qui ont servi de fondement dans le § II pour l'étude des ensembles. Les propriétés trouvées dans ce paragraphe subsistent donc dans le cas où les variables x, y^ ... parcourraient non plus la suite des nombres réels, mais celle des nombres complexes.

VARfABLES COMPLEXES. 1^3

188. Soient ^,j', ... des variables indépendantes réelles, P et Q des fonctions réelles de ces variables, définies dans l'intérieur d'un domaine E et admettant des dérivées partielles continues. La fonction complexe u = P -{- ^'Q admet-

1 j, . , • 1, ^P àO dP .âO , ,

tra des dérivées partielles -r h i-^y -^ !- i-r^) • • • eoale-

ment continues, et son accroissement Aw, lorsqu'on passe du point (^, y, . . . ) au point {x + A^, y -\~ Ajr, . . . ) sera de la forme

+ (R + SO A^H-(Ri+SiO V+-- ',

R, S, R,, S,, ... tendant vers zéro avec A^, Ay, . . . (et cela uniformément dans tout ensemble E, borné et parfait intérieur à E).

Supposons les variables ^, JK, ... en nombre pair; représentons-les par œ^y; Xi, y^', ... et formons les combinaisons complexes /

z=ix-hiy, z.^ — Xi-^-iyi,

On aura

Az =z \x -^ i\r, A^i = AcTi + i^yi, . . . ,

L'expression

(R + 80 Ax + (R, + Si 0 Ar + . . .

I^ourra donc se mettre sous la forme

pA3 4- piA^i + . . . , les quantités

P = (R + SOYr +(Ri4-SiOr!-' Pi=---

tendant encore vers zéro en même temps que Ax, Aj>^, AX), Ay,, . . . (et cela uniformément dans E, ).

dy-

dQ ôx

dx,

-dy.'

Si, d'autre part, nous supposons les dérivées partielles

^P dq dV dq ,., 1 1 r

-r-) -T^ 5 -T— ? T^ ? • • ■ liées par les relations dx ôx oy dy ^

les termes de la première ligne de l'expression de Az^ pourront s'écrire ainsi

~\dx âxj " \dxi âxij ^^ On aura donc finalement

(2) < \^^ àxj \oxi dxi

( H- p Xz + pi A^i -]-....

Lorsque les conditions ci-dessus seront satisfaites, nous dirons que u est dans l'intérieur de £ une fonction synectique des variables complexes z^ z^^ .... Les termes de la première ligne du développement (2) seront sa différentielle totale du.

Posons, en particulier, A^, = o, A^o = 0, ... 5 nous aurons

\z ôx dx ^'

A« , .. . dP , .^Q

01 Ag tend vers zéro, — tendra vers une limite -j h ^-r^'

^ Ag dx dx

indépendante du rapport des deux infiniment petits Lx et

Aj'. Cette limite se nomme la dérivée partielle de a par

l'apport a z et se représentera par la notation usuelle -y^*

(Si u ne dépendait que d'une seule variable complexe, on

l'appellerait simplement la dérivée de « et on la représente-

da , -.

rait par -r- ou u .)

^ dz ^

La fonction u admettra de même, par rapport aux autres

variables 3,, . . . , des dérivées partielles

du dV . dO

Toutes ces dérivées v ? -^ — ' • • * seront d'ailleurs des fonctions continues de ^, jk, ^i , JKi , • • • •

189. Réciproquement, pour que Texpression P-f-Q«, où P, Q sont des fonctions de jt, jr, ^i , jKi , ... définies dans

l'ensemble E, admette des dérivées partielles continues -r— ?

^ âz

-y—? • • • indépendantes, la première du rapport de Ix à A/,

la seconde du rapport de A^, à Ajv', , etc., il faudra que P et

^ j , j , . , . 11 . âP ôQ ÔV

(J admettent des dérivées partielles continues -^— j -r-^? -r— ?

^ oj^ ox Oy

ÔQ

, ' ' • liées par les relations (i).

En effet, changeant x en x -h A^, sans altérer jk, ^i, jKi , ..-, on aura

^u \u AP-i-fAQ Az Ax A^

Pour que cette expression tende vers une limite fixe -r—' ^ ^ âz

•I r AP AO , 11-.

Il laut que — ? — ^ tendent vers des limites.

*■ \x Ax

Donc P et Q doivent admettre des dérivées partielles

<)P dQ ,,

-T— ? -T-^? et 1 on aura ox Ox

du dP .ôQ

oz ox ox

I Changeons de même y au y -\~ \y, sans altérer les autre:

i;^ PIIEJIIÈRE PARTIE. — CHAPITRE H.

variables. On aura

Aw Lu AP-f-i aQ aQ — i aP

A^ i \y i Ay Ly

Pour que cette expression tende vers la limite -y- ? lorsque

1 , -I r AQ AP , ^ ^' ■

Av tend vers zéro, il laiit que — ^ ? — tendent vers des limites ^ ^ Aj A/

-— } ^— , et 1 on aura dy ây

du dO . ÔP — ^ i

dz ây ây dz

1^ • 1 du .. • 1 1 , ,

Pour que cette expression de y- coïncide avec la précé-

dente, il faut qu'on ait

^P ^ ÔV dQ ^

dx dy dy dx

1^ p du . . ., p

hntjn, pour que — soit continue, il laut que sa partie

, ,, . . \ . , . ^^ àV dq dP dQ

réelle et sa partie imasrinaire le soient. Donc -^—f -~y -r— ? ^r—

^ ^ dx dx dy dy

doivent être continues.

On obtient des résultats analogues pour les autres déri-

. „ ^P dQ

vees partielles -. — ? • • • j ;r^ j • • • • ^ dxi dyx

190. Remarques. — i" Si l'on veut que P H- Q^ soit une fonction svnectique de 3, ;:i • . . , aucune des deux fonctions 1^ et Q ne pourra être choisie arbitrairement; car les deux ])remières équations (i), dérivées respectivement par rapport à ^ et^^ et ajoutées ensemble, donnent

dn' dn' dx^ dy-

Dérivées par rapport k y et ^, puis retranchées, elles

donnent

dx'^ dy^ '~ On trouvera de même

âxl "^ âfi " ^' dxl ^ dfi~^'

2" Si l'on admet (ce qui a toujours lieu, comme on le verra plus loin) que les dérivées secondes ^— ^? -^ — -s—? •• •

1 ,,. , . , T- àii du existent et sont continues dans i intérieur de Ji, -;--} -^ — > • • •

seront encore des fonctions synectiques de ^, ^,, .... En effet,

du âP .dQ â:^ dx dx

par exemple, admet des dérivées partielles continues

^ dit â^ . d'^Q dx dz dx'^ dx^

dy dz dx dy dx dy

d du d'^P . d^Q

dxi dz dx dxi dx dxi

Il reste à montrer que ces dérivées partielles satisfont aux relations

dx-' "~ dxdy'

dx dy

dx^' '

rpp d^q

dx\ dxy dyi

dx^ dy, ~

dx\'

Or celles-ci s'obtiennent immédiatement en dérivant les

^ équations (i) par rapport à ^, ^, , ....

H )o c- ' . d^u d'^u II,.,

.>" Ï51 nous représentons par --—5 -, — r— , • • les dérivées ^ ^ dz' dzdzi

1 àu de -r— > par rapport a ^, ^i , . . . , on aura

dz dzi dœ dx^ dx dx^

dx^dx dxidx dzdz^ 4*^ Si nous supposons u indépendant de 3, on aura ^— = o, si ;^ = ;î, — = I. Si donc, dans l'équation

du du

— As + xdz dzi

y fj lit U t«-

au = 3— A3 4- -3^ A^i -t- . . . ,

qui définit du, nous posons u = ^, il viendra dz = A:?. De même dz-i = Az,, . . ., et, par suite,

, du j du j du = -^r— dz -4- -T — dz. -h . . . . dz dzi

5"^ Les théorèmes du n° 75 et la règle plus générale du n° 88 pour la dérivation des fonctions composées s'appliquent sans changement aux fonctions sjnectiques de variables complexes.

491. Théorème. — • Soit F(z, Zt, . . .) une fonction synectique de

z — x-^iy, z^--œ^-^-iy^, ... définie aux environs du point

et s^ annulant en ce point sans que sa dérivée partielle -^

s'y annule.

On pourra déterminer une fonction synectique de ^,, . . ., définie aux environs du point (Ç,, . . .), prenant en ce point la valeur t, et qui, substituée dans V équation

F(:3, ^1, . . .) rr: o, la rende identiquement satisfaite. Cette

fonction sera unique et admettra aux environs du point (Ç,, . , ,) les dérivées partielles

Soit, en effet

P et Q étant des fonctions de x, y^ ^\i y\ On a, par définition,

Le jacobien

dx ~^ dy^ df '" dx ' dx^ " dfi ' c//i " ^^i

dx ây

de P et Q par rapport k x^ y se réduira, en vertu de ces équations, à

\dxj \dx

ce qui est le carré du modale de la dérivée

ÔF âP . ^Q

oz dx dx

Celle-ci ne s'annulant pas au point initial (Ç, '/i, ^, , Yj, , » , .) J ne s'y annulera pas. On pourra donc déterminer, et cela d'une seule manière, aux environs du point (^, , y), , . . .) deux fonctions réelles x^ y des variables indépendantes .r i , j>'j , . . . , satisfaisant identiquement aux équations P ^- o, Q = o (ou, ce qui revient au même, à l'équation F = o) et se réduisant

j8o première partie. — CHAPITRE II.

respectivement à ^, ri au point (E,, r^ , . . .). Les différentielles totales de ces fonctions seront données par les équations

dx dy ^ docy àfi '^

dQ , ÔQ , ÔQ . dQ ^

■~ dx 4- — ^ dy -\- — ^ dx. + -r-^ dy. + . . . = o dx dy "^ àx^ d/i -^

ou, en vertu des équations (i),

^dx-^dy-^^^dx,-—dy,-^... = o,

UX (JX U'^\ (/«^i

Ajoutons ces équations, après avoir multiplié la seconde par i\ il viendra

dx dx

{dx + idy)

(dV .dQ\., ., ,

(73 dz^

Cette relation montre que la quantité complexe :; est bien une fonction sjnectique de i:?!, ... et a pour dérivées partielles les expressions (3). Elle satisfait d'ailleurs à l'équation F = o et se réduit à ^ 4- ir^ au point (Ç,, . . .).

Le théorème que nous venons d'établir est entièrement semblable à celui démontré (91) pour les fonctions de variables réelles. Les conséquences déduites de ce dernier (92 à 9o) subsistent évidemment aussi pour les fonctions synecliques de variables complexes.

'J92. Les conditions qui expriment que i/^P-j-Q^ est une fonction de ^ = ^ + ijr sont susceptibles d'une interprétation géométrique remarquable.

VARIABLES COMPLEXES. j8i

Marquons en effet, sur Je plan, le point qui a pour affîxe u =/(z). A chaque point z correspond un point u^ à chaque ligne décrite par z, une ligne décrite par u.

Considérons trois points z^ z -}- A^, z -f- Ai z formant un triangle infiniment petit, dont les côtés auront respectivement pour longueurs ] A^ |, | A, z |, | ài ^ — As |.

Les points correspondants u, u + A«, u + A, u formeront un autre triangle, dont les côtés auront pour longueurs

\ ^^U - Ml\=:\[f'{z -h ^Z) -h p]{^,Z - 1Z)\,

i\, Ri , p tendant vers zéro avec A^, A, z.

Les rapports des côtés correspondants sont donc respectivement |/(5)-f.R|, |/(^)-+-R, I, l//(^-|-A5) + ?| et tendent vers la limite commune /'(^) lorsque As et A,^ tendent vers zéro. Les deux triangles tendent donc à devenir semblables.

Ce raisonnement serait toutefois en défaut pour les valeurs de z qui annuleraient /'(z).

IL — Intégrales des fonctions synectiques.