Soit toujours
f{z) = P-^iQ
une fonction de ^, synectique à l'intérieur d'un domaine E, et soient
les équations d'une ligne rectifiable L menée dans l'intérieur de E entre deux points Zq et Z.
Les quantités P et Q étant des fonctions continues de ^, y, qui, sur la ligne L, sont eux-mêmes des fonctions continues de tj seront le long de cette ligne des fonctions continues de t. Représentons-les par P(^) et Q(^).
l82 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Entre les valeurs ^05 T de t qui correspondent aux deux extrémités de L, intercalons une suite de valeurs intermédiaires /,, ..., ^/f, .... Entre deux valeurs consécutives 1^, tkj^^ prenons arbitrairement une valeur intermédiaire ta- Désignons par 2^, ^a+i, Ç/c les valeurs de z qui correspondent à tk, ^A+n Ta.
Cela posé, formons la somme
Si V on fait décroître indéfiniment V étendue de tous les intervalles A^a= tk+\ — ^a? l<^ somme ci-dessus tendra vers une limite fixe, que nous appellerons ^intégrale de f{z)dz suivant la ligne L, et que nous représenterons par
Jf(z)dz.
Pour établir ce théorème fondamental, il suffît de montrer que, quelle que soit la quantité £, on pourra déterminer une quantité Tj telle que la différence entre deux sommes quelconques S et S' dans chacune desquelles les intervalles A^a sont ■< 71 ait son module nécessairement <[ s.
Soient S, S' deux de ces sommes correspondant respectivement à deux systèmes de valeurs intermédiaires ..., ^a? ^A+i , ... et ... , ^^, 4+1) • • • j ^" ^^^^ troisième somme correspondant à un nouveau mode de division où figurent toutes les valeurs intermédiaires t et t' . On aura
|S'-^S|^iS"-S| + lS"-S'|;
il suffît donc de montrer que, si Tj est assez petit, le module
de la différence S^^ — S sera < - ? la môme démonstration
s'appliquant à la différence analogue S'^ — S'.
Considérons un terme
[P(TA) + i-Q(TA)](^A+l--3A)
VARIABLES COMPLEXES. l83
de la somme S. Il est remplacé dans S'^ par une somme de termes
s[P(T^)4-^-Q(Ti-0](4'-.i-40
où
La différence entre cette somme de termes et le terme primitif sera donc
(I) sjpct;..) - P(T,) + i[Q{T',.) - Q(x,)]| (4'+i- 4)-
Gela posé, z/i et i'/,, étant compris entre t^ et ^a+i, leur différence sera <^t, . D'ailleurs, les fonctions P et Q, étant continues, le sont uniformément. On pourra donc, en prenant Y| assez petit, rendre toutes les quantités P{'^k^) — ^(^k), Q(t^') — Q('^a) moindres en valeur absolue qu'une quantité arbitraire ^.
Gela posé, le module de la somme (i) sera moindre que
D'ailleurs | ^..^.i — z[. \ n'est autre chose que la distance rectiligne des points ^^^^^ et z'/,,. Donc S|4-,^i — Zk,\ représente , le périmètre du polygone formé avec les points ^i-, ... et sera au plus égal à l'arc de courbe compris entre Z/( et ^a+i. Opérant de même sur chacun des termes de la somme S et sur les termes correspondants de S'^, on aura
|S"-S|<^v/2/, / désignant la longueur de l'arc total. En prenant ç assez petit, on pourra rendre cette différence moindre que -•
194. Supposons, en outre, que les fonctions ^{t)y ^(t) admettent une dérivée continue. Le calcul de l'intégrale dont l'existence vient d'être établie se ramènera à celui d'intégrales réelles.
Il s'agit, en effet, de trouver la limite de la somme
S(P4- Qf) (A^^ 4- « Aj) := 2(P A^ — Q Aj) -i- i 2(Q Ajp4- PAj).
Or on a, d'après les hypothèses faites sur les fonctions o et 6
A^^ = [cp'(0 + R] A^ Aj = [f (0 + R'] A/,
Il et R' convergeant uniformément vers zéro avec A^, dans l'intervalle de ^o à T. On aura donc
^(P A^ — Q A/) = S[P cp'(0 — Q y{t)] U -h 2(PR — QR') A/.
Le second terme de cette expression tend vers zéro avec les intervalles A^. En effet, soient M une limite supérieure des modules des fonctions P et Q sur la ligne L; Tj le maximum des modules des quantités R, R'; on aura
modS(PR — QR')A^ = 2Mr]SA^^2MTi(T — ^o)-
Or, lorsque les A^ décroissent indéfiniment, les R, R' tendent uniformément vers zéro^ donc t) tend vers zéro. On aura donc
lim Z (P A^' — Q A/) = lim Z: [P ^'{t) — Q ^(0] ^t
De même
limv(QA.r4-PA7)= f [Q cp'(0 + P f (0] ^^.
19o. De la définition de l'intégrale / f{z) dz par une
limite de somme résultent évidemment les propriétés suivantes :
i"" Si la ligne L est formée de plusieurs parties successives L, , Lo, . . . , on aura
Çf(z) dz = f/izYdz + f/{z) dz+....
2" Si L et h~* représentent la même ligne, décrite dans
VARIABLES COMPLEXES. î85
doux sens opposés, on aura
f f{zÙz=- ff(z)dz.
3» Si/(^) = Ci/;(^) + C2/2(^) + ..., c,, C2, ... étant des constantes, on aura
ff{z)dz^-c, Çf,{z)dz-^c, ff,{z)dz^....
4"* Enfin, soient M le maximum de \ f{z) \ sur la ligne L, et / la longueur de cette ligne, on aura
\^A^k){^k^i-^k)\tM^\z,^,-z,\ = Mp,
p désignant le périmètre du polygone ZqZ^ . . .z^. . .\ d'où, en passant à la limite
f{z)dz\lUl.
196. On remarquera que, dans les raisonnements qui précèdent, nous nous sommes appujé uniquement sur la continuité des fonctions P et Q, sans faire aucun usage des équations aux dérivées partielles qui expriment que P H- Q? a une dérivée déterminée. Mais ces nouvelles conditions vori,t intervenir dans la démonstration du théorème suivant :
Théorème. — Soit C un contour fermé continu et sans point multiple, et tel que tous les points non extérieurs à G soient intérieurs au domaine E. L'intégrale ff{z) dz prise suivant une ligne rectifiable fermée quelconque K intérieure à G sera identiquement nulle.
La fonction fi^z) = P -|- Q;, étant continue pour tous les points non extérieurs à G, qui forment un ensemble parfait, le sera uniformément dans cet ensemble.
So-ient
les équations de la courbe R. Donnons à t une série de
l86 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
■valeurs successives Ùq, ..., t/(, ...; nous obtiendrons sur la -courbe une série de points correspondants Zq, . . . , -S/v, .... Supposons que les intervalles t/i^i — t^ soient tous <; o. En faisant décroître suffisamment cette quantité 8, on pourra faire en sorte :
i*' Que les distances 5a^a+< (qui tendent uniformément vers zéro avec o) soient moindres que la plus courte distance de K à G, et par suite que le polygone inscrit P, qui a pour sommets ^o? ^n • • • ? ^a, • • • ? soit intérieur à G ; -^o Qyg ]a différence entre la somme
et sa limite / f{z) dz ait son module moindre qu'une quan-
tité £ choisie à volonté;
S** Enfin, que la différence entre cette somme et l'intégrale / f{z)dz^ prise sur le contour du polygone P, ait
aussi son module <^ £.
Pour établir ce dernier point, qui seul a besoin de démonstration, considérons le terme
correspondant à l'élément ZkZhj^^. Il est remplacé, dans l'intégrale 1 f{z)dz, par l'expression suivante ^p
où z'^^^j . . . sont des points de division infiniment voisins pris sur la droite -S/^^^+i • Gomme on a
la diff'érence entre ces deux expressions sera la limite de la somme
dont le module est au plus égal à
M/, 2 I ^;.,.i,/, - ^;^. \=-.M;,\ ^A-M - -A: I = ^kh,
Ifi désignant la longueur du côté z^+i — ^a, et Ma le maximum des modules des quantités f{z'^^) — /(^a).
Raisonnant de même sur chacun des côtés du polygone et désignant par M le maximum des quantités M/j et par / la longueur de la courbe K, on aura pour limite supérieure du module de la différence cliercbée
D'ailleurs, le point z'^^ étant situé sur la droite s^^a+i? on aura
l^'ik— ^k\ < I Z/,^1 — Z/cl-
Donc les différences z'-f^ — z^ et, par suite, les quantités fi^'ik) — fi^f^) tendent uniformément vers zéro avec o. On peut donc, en prenant o assez petit, rendre M moindre que
y 5 ce qui démontre notre proposition.
Si donc nous établissons que l'intégrale //(^)<i^ est nulle pour tout polygone P, le théorème sera démontré, car le module de l'intégrale / f{z)dz étant < 2£, quelque petit que soit £, sera rigoureusement nul.
197. Le contour polygonal P peut se traverser lui-même en certains points; le nombre de ces traversées sera limité et
au plus égal à — -^ -j n étant le nombre des côtés du polygone. Partons, dans ce cas, d'un point quelconque du contour pour le décrire dans le sens de l'intégration, jusqu'à ce ^u'on traverse pour la première fois les parties déjà décrites. La portion de contour comprise entre ces deux passages au même point formera un contour partiel qui ne se traverse pas
l88 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.
lui-même. Si I'oq suppose le théorème établi pour un semblable contour, on pourra négliger cette portion de la ligne d'intégration, et il ne restera plus qu'à faire la démonstration pour le contour restant, où le nombre des traversées est diminué.
On voit donc qu'il suffit d'établir notre proposition pour un contour polygonal qui ne se traverse pas lui-même. Or l'intérieur d'un semblable contour peut se décomposer en triangles. Supposons le théorème établi pour chacun de ces triangles; la somme des intégrales obtenues en faisant le lour de chacun de ces triangles, dans le sens direct, par exemple, sera nulle. Mais les côtés de ces triangles qui ne font pas partie du contour P étant décrits deux fois en sens contraire, les intégrales correspondantes se détruisent deux à deux 5 et l'intégrale restante sera précisément celle qu'on obtient en décrivant le contour P.
Nous avons ainsi ramené la démonstration du théorème au cas où le contour K, au lieu d'être une courbe rectifiable quelconque, dont la notion est un peu confuse, se réduit à un triangle.
On peut même admettre que le triangle a un de ses côtés parallèles à l'axe des j^, car tout triangle peut être décomposé en deux triangles de cette nature.
^Jy-' 198. Considérons un semblable triangle ABC {^fig- i).
Soient
les affixes de ses sommets (de telle sorte que /?Zo, m représentent respectivement les coefficients angulaires des côtés A AB, BG).
Nous aHc)i^s montrer que l'intégrale f f{z)dz^ prise sur le contour du triangle, a une valeur indépendante de m.
Elle se compose, en effet, des trois intégrales
f f{z)dz, f f{z)dz, f f{z)dz.
^AB ^JlC «^CA
La première ne dépend pas de m.
Fig. t.
Cherchons la dérivée de la seconde. Soit /(g)=:P(^,7) + /Q(^, y).
r La ligne BC a pour équations ; œ—b, y^a'-\-t{b--a),
tétant réel et variant de nio à m. Donc l'intégrale
f f{z)dz sera égale à
et sa dérivée, par rapport à sa limite supérieure m, sera
V[b, a' -h m{b - a)]-h iQ[b, a' -h /n{b — a)]i{b — a)
Cherchons, d'autre part, la dérivée de la troisième in té
grale prise suivant le côté GA. On a, sur cette ligne,
œ^zit, y ma' -\- m{t ~ a),
t étant réel et variant de ^ à a. Substituant ces valeurs dans f{z-), on obtiendra un résultat de la forme
(2) f{z) =z P(^, y) + ^•Q(^, y) =: P,{t, m) 4- iq,{t, m),
et comme
dz =: dcc 4- i dy =:= ( i -f- m«) c/^,
l'intégrale chercliée deviendra
m) + iQi{t, m)] (i -I- mi)dl,
expression où l'on séparerait sans peine la partie réelle de la partie imaginaire.
Sa dérivée par rapport à m sera
Or on a, par hypothèse,
if^^l^R) — ^ /^
et, d'autre part, en dérivant l'équation (2) par rapport aux variables indépendantes t, m dont x ^l y sont des fonctions,
dV .ÔQ /dP .âQ\ dP, .dQ,
oôc doC \dy dy J c)t dt
dP .(^Q\ ^Pi .ôq,
\dy ày J dm dm
La combinaison de ces équations donne
Substituant cette valeur dans l'intégrale (3), elle devient
Cette dérivée étant égale et contraire à celle de l'intégrale suivant BG, on voit que l'intégrale ff{z)dz^ prise autour du triangle, est une constante indépendante de m.
Or, si m = o, l'intégrale suivant BG disparaît, et les intégrales suivant AB et GA sont égales et contraires. Donc la constante est nulle et le théorème est établi. p
199. GoROLLAiRE. — • Soicjit L, L< deux lignes arbitrai- ^ \ rement tracées dans V intérieur de G entre deux points 4/' <^ 1 fixes Zq et Z. On aura .7
f/{z)dz. = f/{z)dz..
Gar la ligne h^L ^ étant fermée, on aura, d'après ce qui précède,
«^L, L-' ^Li «^L-> ^Li ^L
L'intégrale ne dépend donc pas du tracé de la ligne L, mais seulement de la position de ses extrémités. On peut mettre ce fait en évidence en la représentant par la notation
/ f{^)dz.
200. Dans l'intérieur de G, cette expression représente une fonction synectique de Z, ayant pour dérivée f{z).
Gherchons, en effet, son accroissement lorsqu'on change Z en Z -H <iZ.
Soit L la ligne d'intégration suivie de ^o à Z. On peut
192 PREMIÈRE PARTIE. — CnAPITRE II.
adopter comme ligne d'intégration de ^0 à Z + dL la ligne L, suivie de la droite infiniment petite qui joint Z à Z-f-<:/Z. On aura alors
/ f{z)dz- f{z)dz
f f{z)dz=f{ï) dz+ U{z)-f{l)-]ch.
Le premier terme est évidemment égal à fÇL)dL. Le second a pour limite supérieure de son module M | dlj |, M étant le maximum de | f{z) — /(Z) | sur la ligne d'intégration. Or \z — Z I est ^ I dL I , et f{z) est continue. Si donc d7j tend vers zéro, il en sera de même de M; on aura donc
^■L + dl ^Z
Il étant un infiniment petit.
On voit par là qu'il existe des fonctions sjnectiques ayant /(Z) pour dérivée et définies dans le même domaine que celle-ci; elles auront pour formule générale
^(Z;)=j^ /(Z)dz
c désignant une constante.
L'une de ces fonctions rT(Z) étant donnée, on obtiendra la valeur correspondante de c en faisant Z = ^o* H vient
On aura, par suite, comme au n" 82,
(4) f f{z)dzr=HZ)-^{zo).
Comme on a évidemment
£' f(z.)dz=-j"' f{z
)dz,
VARIABLES COMPLEXES. I gS
l'intégrale, considérée comme fonction de Zq, aura pour dérivée — f(zo).
201. Les règles pour la dérivation des intégrales définies et pour l'intégration par parties (n"' 83 et 84) s'appliquent évidemment aux intégrales que nous considérons en ce moment.
202. Le changement de la variable indépendante peut s'o- pérer comme il suit :
Soit z = 'f(t) une fonction de t, sjnectique à l'intérieur d'un domaine E,. Lorsque t se meut à l'intérieur de Ej, z se mouvra dans un domaine correspondant E.
Supposons en particulier que t décrive un arc L, de ligne rectifiable; z décrira une ligne correspondante L, et ses variations seront liées à celles de t par la relation
•Jt restant continue, et R tendant uniformément vers zéro avec \t\ car les points de L, forment un ensemble borné et parfait; on pourra donc assigner une quantité y^ telle que, si |Ai|<^Ti, |R| devienne moindre qu'une quantité £ arbitrairement choisie, quelle que soit la position du point t sur L,. D'autre part, le long de cette ligne, | '/(^) | admettra un maximum jji.
Soit ^05 • ' -î ^/fi • • ♦ L une suite de points pris sur L,, de telle sorte que les différences A/^= ^yi[., — t}^ aient leurs modules moindres que r, ; et soient z^^ . . . , Zk^ . . , Z les points correspondants de I^; on aura
d'oii
hwc|<(!J-4-0h^>t|;
donc les As;^ tendront uniformément vers zéro avec les ^t]^. Enfin la ligne L sera rectifiable et aura une longueur
/ rrz lim S I A3/, I ^ lim ( ;i. 4- £ ) S A^/, 7 ;j. /, ,
/i désignant la longueur de L,.
Cela posé, soit/(5) une fonction de^, sjnectique dans E| ; i on aura
Faisons tendre Tj et s vers zéro. Les A^y^ et les Ag/v tendant vers zéro, le premier membre aura pour limite
/{z)dz
et le second
Or, si l'on désigne par M le maximum de \f\ sur la ligne d'intégration, le second terme aura son module moindre que Ms/, . Il tend donc vers zéro, et l'on aura
ff{z)dz.= ff{^t)o'
tdt.
j 203. Théorème. — Soient C,, C2, . . . , C,, {Jig. >.) des contours fermés rectifiahles et sans points multiples, extérieurs les uns aux autres, et tous intérieurs à un dernier contour Gq de même nature.
Fis. 2.
Soit, d'autre part, fz une fonction de z synect'que dans un domaine E contenant dans son intérieur toute la réi^ion R du plan bornée par les contours Go, G,. . . .,
VARIABLES COMPLEXES. KJJ
Cl, y compris ces contours eux-mêmes; on aura f/zdz= ffzdz-^...-^ ffzdz,
les intégrales étant prises dans le même sens, par exemple dans le sens direct, autour de ces divers contours.
Nous supposerons n = 2 dans la démonsLralion.
Joignons les contours Co, Ci, Co par des lignes rectifîables L, L,, L2 sans points multiples et ne se rencontrant pas mutuellement {ftg- 2). La région R se trouvera divisée en deux régions partielles R,, Ro, limitées chacune par un seul contour fermé dans tout l'intérieur duquel /b est sjnectique.
L'intégrale / fzdz prise dans le sens direct le long de
chacun de ces contours frontières sera donc nulle (196). Ajoutant les résultats obtenus pour les deux régions, on remarque :
r* Que chacune des lignes L, L,, Lo ajant été décrite une fois dans chaque sens, les intégrales correspondantes se détruisent;
2" Que les deux moitiés du contour Co ont été décrites chacune dans le sens direct; la somme des intégrales obtenues sera donc
3'^ Que les deux moitiés de chacun des contours C,, C2 ont été décrites dans le sens rétrograde. Si donc nous désignons par / fz dz, j fz dz les valeurs des intégrales prises en décrivant C, et Co dans le sens direct, les intégrales obtenues seront — \ fz dz., — fzdz. Nous avons donc comme résultat final
ffz dz - ffz dz - ffz dz = o.
•^Co «^c, ^t:^
!204. Théorème. — Soit fz une fonction synectique à r intérieur d'un domaine E ; soit K un contour [rectifiable, fermé et sans point multiple) et tel que toute la région du plan non extérieure à K soit dans V intérieur de E; on aura pour tout point a de cette région
(6) fa.— . / •-
Soit, en elFct, c un cercle de rayon infiniment petit r décrit du point a comme centre; on aura, d'après le théorème précédent
f Jl- d. ^. f -/^ d:. ^ fa I ' -''-:- + fl'----^ dz. ./u- - — « J. - — t« ' J,. z — a J z — a
Le dernier terme tend vers zéro avec r. Soit, en effet, M le maximum de \fz — fa\ sur le cercle c; ]z — a\ étant égal à /• sur ce même cercle, le module de l'intégrale ne pourra
surpasser — 27zr = 27:^1. Or, à cause de la continuité de
f\z)^ M tend vers zéro avec r.
D'autre part, on a sur le cercle
^ r^ a 4- /• ( CCS Ci -j- / sin 'f ) , dz ~- /• ( — sin '^ 4- i ces cp ) <:/o z=: ( ^ — a) i â?cp,
'^ étant réel et variant de o à 271. On aura donc
i d'à — - •'>. TT .''.
t20o. L'équation (6), dérivée par rapport au paramètre a, donnera les suivantes
\ .2. . .n r fz ,
fia— — ;— / - — ^ -dz.
VAHIABLES COMPLEXES. 197
Les intégrales qui figurent au premier membre sont des fonctions de a finies et déterminées. Les dérivées successives de la fonction / sont donc sjnectiques, comme / elle-même, dans tout l'intérieur de K.
Soient
/• la plus courte distance du point a au contour K; M le maximum de \fz sur ce contour; / sa longueur.
On aura, sur tout ce contour,
et, par suite,
et, en particulier, si K est un cercle ayant a pour centre, d'où 1= iT.r^
(8) \ra\l j,
206. Les résultats précédents s'étendent immédiatement aux fonctions de plusieurs variables.
Soit, par exemple, /(^, z^ ) une fonction des deux variables complexes -s, Sj, qui reste sjnectique tant que ^, z^ restent dans l'intérieur de domaines E, E,. Soient K, K, deux contours fermés (rectifiables et sans point multiple), tels que tous les points des régions non extérieures à K et à K ^ soient intérieurs respectivement à E et à Ej ; «, a^ désignant deux points quelconques pris dans ces régions, on aura
'^ Iv
iTuJ.. z,-ay
Kl
d'où
et, en dérivant ni fois par i^apport à a et m, fois par rapport à «,,
ro)
f(z,z,)dz,
Les dérivées partielles seront donc svnectiqnes, et si l'on désigne par M le maximum de |/(^, ^i ) | pour tous les systèmes de valeurs de 5, ^1 respectivement situées sur les contours K, K, ; par ;-, /•, les distances de ces contours aux points rt, ûi 5 par /, /, leurs longueurs, on aura
(II
ôa'" ôa"'^
( 2 TC )^ /•'« )-I /-'«i-t-l
En particulier, si Iv et Iv, sont des cercles de même rayon /•, ayant leurs centres en a et a,, il viendra
7 ni\ m A
III. - Fonctions rationnelles, 207. PoLYiVOMEs ExVTiERs. — Gousidérons un polynôme
P ( 5 ) rr~- Xz'" 4~ B G'"-' + . . . -r K,
OÙ z est une variable complexe. A, B, . . . , K des nombres complexes quelconques.
Cette expression a une valeur déterminée pour toute valeur de z.
D'ailleurs, si nous posons, pour abréger,
V'{z)z= mXz"'-^-{- (m — i)B3''^--4- . . .,
nous aurons
P(:; 4- h) =zP{z) -h h P'{z) + ^ P"{z)-^ . . .,
où
lim""*'
Donc P(^) est une fonction synectique ayant pour dérivée V\z).
Si I 5 I tend vers ce, il en sera de même de | P(^) |. On a, en effet,
p(.-) = ."'Ya + 1^ + ...+ -
!P<.-.i;W"(iA,-S|;^...-iJiI)
et, si l'on suppose | s | >> i , '(.)!> i.|(|A|-Llii±V^^L!y)>|A|U.|-(|B| + ... + |K|).
Donc, £ désignant une quantité positive quelconque, |P(^)| sera ]>> s dès que |^| sera ^o, 3 désignant une constante
plus grande que i et que - — ^ r-T~\ — ~*
i 208. L équation P(^) = o admet toujours au moins une
racine.
Donnons en effet à z une valeur quelconque c; soit £ la valeur correspondante de |P(3)|. La constante o étant déterminée comme ci-dessus, considérons l'ensemble des valeurs de z dont les affixes ne sortent pas d'un cercle G de
I rayon o, ayant pour centre l'origine des coordonnées.
' Cet ensemble étant borné et parfait, | P( g) |, qui varie d'une
manière continue avec z^ y admettra un minimum m au plus égal à £, qu'il atteindra effectivement pour une valeur déterminée a de z. Cette valeur sera intérieure au cercle C, car sur le cercle | z | = o et | P(-s) | ;> £.
Nous allons démontrer que ce minimum est nécessaire-
ment nul. Supposons, en effet, qu'on eût
Donnons à^ une valeur a + A, h étant une quantité complexe assez petite pour que le point a^h soit encore dans le cercle G; nous allons voir qu'on pourra déterminer h de telle sorte que | P(« -4- A) | soit <|P(<7)|, ce qui implique contradiction.
On a
Le terme en'h"' dans ce développement a pour coefficieiil A, quantité différente de zéro. Mais les coefli-
cients des autres puissances de h peuvent être nuls.
Supposons, pour fixer les idées, que le premier terme donl le coefficient ne soit pas nul soit le terme en /û\ Notre développement prendra la forme
P(^ -h h) = P{a) + Bo//'^--l- B,A>>+' 4-. . .^ B,,^.i/i"'.
On en déduit
|P(« + /0|^|P(«) + BoA>-l-f-iB,||A!>-^t + ...4-|B,,>J|A;-.
Prenons le module de h assez petit pour qu'on ait
\h\<i, |Bo| \/?\<\P{a)\,
et déterminons son argument par la condition
XargA + argBo— argP(«) + r.
Les deux quantités P(rt) et B„/i^ ayant des arguments qui diffèrent de ti, et | P(«) | étant > | B„A^ |, on aura
\V{a)-i-B,h^^-\ = \P{a)\~\B,\ \hf' et, par suite,
|P(a + A)|?|P(«)|-|B„| |/<P+1B,| |/,|>.+< + ..., |P(a + /0-|P(«)|:;|Ap.[-|B„| + |B.| 1A| + ...]•
Le (acteur entre parenthèses tend, lorsque \h\ tend vers zéro, vers la quantilé négative — lBo|. Donc, en prenant I If I sufiîsamment petit, on aura
Il est donc établi qu'on peut donner à z une valeur a, telle
que l'on ait
|P(rOi = o, d'où P{a)=:o.
