Appliquons ces formules à Tellipsoïde
en prenant pour lignes i/ et (^ le système de ses lignes de courbure.
Nous avons trouvé (t. I, n" 538) la valeur du carré ds- de l'élément de longueur dans l'espace rapporté à un système de coordonnées elliptiques X|, X2» ^^3. En chaque point de l'ellipsoïde considéré, on aura X| =0; les coordonnées de ces points ne dépendront donc plus que des deux paramètres X2 et "k^j que nous désignerons par u et i^. On sait d'ailleurs (t. I, n** 540) que les courbes M = const., t^ = const. seront les lignes de courbure de l'ellipsoïde.
Posant donc }h = o, X2 = m, X3 = i' dans les valeurs de x^^ y^y z-y ds^^ il viendra
, (G-hw) {C^v)
ds^^ \~. ^;^-:^^^ du^
l (A4-r)(B~rr))(G-ht^)
ds^\
CALCUL DBS TAUATIONS, ^gS
On aura donc ici
4 (A-t-«)(ir+-i/)(G-t-w)' N =0,
~4 (A-hi')(B-hr) (Ch-(^)
et, par suite,
àP __i V P
du ~~ 4 (A. -i-i')(B 4- p) (Gh- ^0 ~~ ('—a' ^M M
Substituant ces valeurs dans Téquation (28), il viendra
Mdu-\-Pdff-h2{u—v) v/MF db = o
ou, en remplaçant M et P par leurs valeurs tirées des équations (27),
cos*6<f('-h sin'ô €/«-+- 2(1/ — f) sinOcos6rfO = o.
Cette équation s'intègre immédiatement et donne
(29) Msin'ô -h ^^COS^ÔnzC,
c désignant une constante.
L'équation (29) peut s'écrire
{u — c) sin^Ô 4- (^ — c) cos*6 = o
ou, en remplaçant sinO et cos6 par leurs valeurs,
(a — c) P éii>' H- ( t^ — c)M du- — o.
Substituant enfin, pour M et P, leurs valeurs et séparant les variables, on aura l'équation
(A4- w) (B -4- «) (G 4- m) (« — C) dont l'intégration se ramène aux quadratures.
dv
dUf
494 TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRE !?.
L'arc de la courbe s'obtient également par des quadi-atures. On a, en effet,
ds^ =2 M du- -h P dç^
= Mdu^d- ^Lzil) ^ c/Q. - i>y du^
V u — c) (A-4-a)(B-+-a)(G + tt)(w--c) usjudu v\Jvdv
371 . Les lignes géodésiques de l'ellipsoïde jouissent de propriétés remarquables, qu'on peut déduire de l'équation (29).
Remarquons tout d'abord qu'en tous les points d'une ligne de courbure u = const. on a
6=-, d'où Msin'O H- pcos*6 1= w = const.
Le long d'une ligne du second système v -rrr. const., on aura 6=1:0 et ttsin'O -h t'cos'ô^i 1^ = const.
I^s lignes de courbure satisfont donc à l'équation (29) des lignes géodésiques.
Cherchons les points où la ligne géodésique
M sin* 6 -H i^ ces* 6 = c
est tangente à une ligne de courbure.
On aura, au point de contact,
6 rzi: O ou 6 -^ -
et, par suite,
u=zc ou ÇzizC.
Chaque ligne géodésique est donc tangente à deux lignes de courbure, une de chaque système, et l'on voit qu'à deux lignes géodésiques tangentes à une même ligne de courbure
u = c correspond la même valeur c de la constante d'intégration.
Il en est de même pour le système des lignes géodésiques qui passent par les ombilics.
On a, en effet, pour les quatre ombilics réels (t. I, n°52S),
La condition y^ = o donne
donc a ou p est égal à — B. Soit, par exemple, u = — B; on aura
donc p sera aussi égal à — B.
Pour une ligne géodésiquc qui passe par un ombilic, on aura donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (29),
ce qui détermine la valeur de la constante c.
Considérons une ligne de courbure quelconque u= const. Soit (u, v) un point quelconque de cette ligne; joignons-le à deux ombilics O et O' par des lignes géodésiques L, L', elles auront pour équation différentielle
ttcos'6 H- psin'6 m — B, u ces' 6'h- p sin* Ô' = — b.
En retranchant ces deux, équations l'une de l'autre, il
viendra
0 = i/(cos'6 — cos'O') -h p(sin*6 — sin*ô')
=z:(r— tt)(sin*ô — sin'e').
Donc sin^8 = sin^O', et les lignes L, U auront pour bissectrices les lignes de courbure du point Uj p.
Soit (u, P|) un point de la ligne de courbure considérée
496 TROISIËilK PARTIS. — CHAPITRE IV.
situé aune distance infiniment petite ds du point (e£, 1^) primitivement choisi. Joignons-le à O, O' par de nouvelles lignes géodésiques L|, L'^.
Projetons L| et Télément ds sur L ; on aura évidemment
L izz proj. L| -I- proj. ds.
Or chacun des éléments de L|, ne faisant qu*un angle infiniment petit avec sa projection, lui est égal en négligeant le produit de sa longueur par une quantité du second ordre; on aura donc, au second ordre près,
D'ailleurs
donc
On a de même
Mais on a
proj.Li~-L,.
proj. û/!s = ûf^ sin 6 ;
h.— Lj-h d!$sinô.
sinô :=- ±1 sinO',
égalité où l'on doit évidemment prendre le signe -|- ou le signe — suivant que les ombilics O et O' sont situés de côtés différents de la ligne u ou du même côté. Dans le premier cas on aura
et, dans le second.
Ces égalités étant démontrées, au second ordre près, lorsque le point (i/, v^) est infiniment voisin du point (u, ç\^ on en conclut par le raisonnement connu (t. I, n^ 462) qu'elles sont vraies en toute rigueur, quelle que soit la position du point (a, ç^) sur la ligne de courbure u.
On voit ainsi que les ombilics jouissent, par rapport aux lignes de courbure, de propriétés toutes semblables à celles des foyers des sections coniques.
CALCUL DBS VARIATIONS. ^97
372. Problème des isopérimètres. — Proposons-nous de déterminer, parmi toutes les courbes de longueur 2 / ayant leurs extrémités en deux points A et B, celle pour laquelle l'aire comprise entre la corde AB et la courbe est maximum.
Prenons pour axe des x la droite AB, pour origine le milieu de cette droite : soit 2 a la longueur de celle-ci. Nous aurons à rendre maximum l'intégrale
/ ydx,
sachant que Tintégrale
/ ds^ l \Ji-\~ y'^dx
a pour valeur 2 /.
D'après la méthode générale, nous aurons à poser
L'équation différentielle de la courbe cherchée sera donc
d'où
d ly
