JA

on trouvera aisément que les équations (35) deviennent (89) \eiiVi=o

et que S^I prend la forme suivante :

Le dernier terme de cette expression disparaît en vertu

des relations (3y). D'autre part,

car les variations 8^/, 8^a s'annulent aux limites. On aura donc plus simplement

l~- j ( > \ Ciki^ivAdx,

390. Les conditions (35) ne sont pas les seules auxquelles soient assujetties les variations 8//. 11 faut, en outre : i**que ces variations soient infiniment petites, ainsi que leurs dérivées, entre Xq et Xt ; 2° qu'elles s'annulent à ces deux limites, sans s'annuler identiquement dans tout l'intervalle XoXi.

Il résulte de là que les quantités ^i doivent être infiniment petites, mais qu'on ne peut les supposer identiquement nulles entre Xq et Xt. En efl'et, si tous les v étaient nuls, les équations (36) donneraient

(40) ^y^'^y, thi^y

En vertu des relations (20), ces équations seraient satisfaites en posant

p' ayant l'une quelconque des valeurs i , . .. ^ m.

Par hypothèse, le déterminant des quantités zi^ non seulement n'est pas identiquement nul, mais ne s'annule en aucun point de l'intervalle Xq x^ . Les équations linéaires (4o ) auront donc pour intégrale générale

Lip-C/p,

les C étant des constantes arbitraires.

Les 8^/ devant d'ailleurs s'annuler pour x = Xq et le

522 TROISlfeME PARTIE. — CHAPITRE 17.

déterminant des z/p n'étant pas nul en ce point, les constantes Cp devront être toutes nulles^ mais alors les S^/ seraient nuls identiquement.