Posons maintenant

^ki^kp}

K-Zp

— \ Mifc/^jfcp.

Les quantités y^/. Sa/, M a/, déterminées par ces équations linéaires, seront des fonctions de x, finies et continues entre Xo et Xi en vertu de nos hypothèses, puisque le déterminant G des quantités z/ip ne s'annule pas dans cet intervalle.

5l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.

En différentiant les équations (26), on trouvera

^'9 '—\ (^'ki^kp-^^ki^kp

on, en remplaçant les ^par leurs valeurs déduites de (aS).

( 28 ) w;p -~2^^ h',,t -^V ^ ^hi T*A ) -*p.

Substituons, d'autre part, les valeurs des quantités u/p, Uif^ déduites des équations (26) dans les équations

elles deviendront

on, en permutant les deux indices de sommation dans le second terme,

y X (^*'^ ^ik)skp^i<T — Oj (p ^i, . . ., m; <T = i, . . ., m).

Le déterminant des quantités ^/^ n'étant pas nul, ces équations entraînent les suivantes

y (5*1— 8/*)x;*p=ro (p = i' • • •» ^)'. et le déterminant des z^p n'étant pas nul, on en déduira

^ki = ^ik'

Les équations (12), (i3), (i4) sont d'ailleurs satisfaites par les valeurs

Faisons cette substitution, remplaçons les quantités ?', Uy

p., vl par leurs valeurs (25) à (28) et changeons, lorsque cela est nécessaire, la dénomination des indices de sommation; il viendra

0=N (^'*'^\ ^'AÏ^A-ny^ ^^//Maz—o'^./ — N S/iiTAVij-Ap.

Ces équations ayant lieu pour p — : i , . . . , m, et le déterminant des quantités ^Ap n^étant pas nul, on aura pour

A ■ If • « • ^ Tït •

(29) oi^e/)t/-f-N eMtkhi

(3o) 0~6;fr|-4-\ C>i/Y*A-H> ^//Mjt,— S^/,

^h Lui

On peut déduire de ces équations les valeurs des quantités a, è, rf en fonction des c, c, y? S, M. Elles donnent en effet

(32) dki^-^

puis

^hl'ikht \h

ou, en permutant t et A* et remarquant que 8^/ --^ 8/^, (33) 6/*— §jt< — \ Caay,a— \ e^t/M//.

Les valeurs précédentes des 6, é/ étant substituées dans

02O TROISlfinK PÀRTtK. — CHAPITRE IT.

l'équatîon (3i), elle donnera

Substituons les valeurs ci-dessus des quantités a, by d dans l'expression de la variation seconde

i^\= \ \ \ ( «/^ ^yt h'k -H 2 ^/A 87/ 0/i -+- c/^ S7; 0^;^) dx

Xq

et dans les équations de condition

(35) o^^,J^y,,^yi•^c^y,) (/=--!, ...,/>),

qui existent entre les variations.

Si nous posons, pour abréger,

(36) sj;-^^.^^,

(37) xy*^'*^-^''^-^*""**'