III. — Variation des intégrales multiples
395* Les notions fondamentales du calcul des variations peuvent s'étendre sans difficulté aux fonctions qui renferment plusieurs variables indépendantes.
Considérons, par exemple, une fonction
?(^> 7» ^, ", ^, . . • , "aPr, ^apY» • • • )
des variables indépendantes x^ j^ z^ des fonctions Uj v de ces variables et de leurs dérivées partielles
dx^ dy^ dzi "P^ dx^ dy^ dzt
Si l'on y change w, (^ en u-\-eu^ = u-\-^UJ v-^-eif^ =i;-f-8f', ç se changera en une nouvelle fonction ^(x, y^ z, e), qui, développée suivant les puissances de e, prendra la forme
f 538 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 17-
On aura évidemment
^i ^k^ ^ ^k ^iép
d*où, pour la valeur particulière e = o,
-5— ,§*© — 8*-rA, ax^ ^ dx^
d^ -z—i représentant la dérivée complète de cp par rapport à x^ en
tenant compte de ce que a, v dépendent de cette variable. On trouvera de même
d^ d^^ d^ .^ .^rf'<p
La variation première 8ç, que nous considérerons spécialement dans ce qui va suivre, aura évidemment la valeur suivante :
iûçp rrzz U 8w -^ . . . -H Uo^y ^"apy -h V Sç» --H . . . -i- Vapy St'apy -4- . . , ,
en posant, pour abréger,
396. Cherchons maintenant les variations de Tintégralc triple
I rir \^t^dxdy dzy
en admettant, pour plus de généralité, que, en même temps qu'on change u^ i^ en m -t- ôm, v -h Sc^, on fasse subir une altération infiniment petite au champ de Tintégration.
A chaque point Ç, t^, !J situé sur la limite de l'ancien champ d'intégration, on pourra faire correspondre un point infini-
ment voisin Ç 4- 8Ç, r^ -h St^, Ç -+- ôÎ^ sur la limite du nouveau champ. Cela posé, changeons de variables indépendantes en posant
Sx'^ oy\ S^' étant des fonctions infiniment petites, assujetties à la condition de se réduire à 8Ç, Syj, 8!^ lorsque .r'= Ç, ^ = 7^, j5'=Ç. L'intégrale altérée, exprimée au moyen de ces nou- .. velles variables, prendra la forme
i-+-^i = ^ypjdx'dydz\
le champ d'intégration étant redevenu le même que dans l'intégrale primitive I, J désignant le jacobien
dW
dx'
d^ dx'
df doY^
dy
dy'
d^x' "dz^
dz~ d^z'
dz'
enfin Vêtant ce que devient ^ lorsqu'on l'exprime au moyen des nouvelles variables x', ^, 2'.
Le développement de cette expression, suivant les puissances de e, ne présente aucune difficulté ; nous l'arrêterons aux termes du premier ordre pour obtenir la variation première 8L Nous pourrons d'ailleurs, en le faisant, supprimer les accents dont sont affectées les nouvelles variables, aucune confusion n'étant à craindre, puisque les anciennes variables Xj y, z auront disparu.
On a évidemment, avec ce degré d'approximation,
dix d 8 V d Iz
dx
dy
dz
D'autre part.
♦ := îp H- 8cp 4- . . .
J. — Cours, III.
53o TROISIÈIIB PARTIE. — CHAPITRE IT.
devient, en remplaçant x, y, z par x 4- 8^, y 4- 8^, s -f- 8^,
On aura donc
V J =: <p -I- ôf -+- ~- 3^ 4- -y*- 8y H- j^ ô^
M^ c*y' ctz
dZx d^v dhz
dx ' dy ' dz
Remplaçant 8p par sa valeur (i), substituant dans Téquation (a) et égalant de part et d'autre les termes du premier ordre en e, il viendra
U 8w 4- . . . 4- UopY S"apy -+- V 8f^ -!- . . . ^>^
— lx\- — dx^ dy
^ï=^Sl( ^ ^ ^ - ^5^ \dxdydz.
397. Cette expression de 31, donnée par M. Ostrogradsky, peut être transformée par Tintégration par parties.
On peut admettre, pour plus de simplicité, que la fonction cp soumise à Tintégration et les équations de condition qui peuvent exister, suivant la nature du problème, entre les variables indépendantes x^ y^ ... et les fonctions inconnues w, ç', . . . ne contiennent aucune dérivée partielle de ces dernières fonctions d'ordre supérieur au premier; car le cas où figureraient des dérivées partielles d'ordre m se ramènerait à celui-là en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles jusqu'à Tordre m — i et ajoutant aux équations de condition les équations aux dérivées partielles du premier ordre qui définissent ces nouvelles inconnues.
Supposons encore, pour abréger l'écriture, qu'il n'y ait plus que deux variables indépendantes Xy y^ et posons
au da dv . <^? ry <^9 tt
dx dy dx ^ du ' da, '
Y~ = U2J .... On aura, d'après ce quî précède,
U 8a -h U, 8w, -h U, 81/j -H V St'
d ^ d ^ \dxdv.
Les termes U| 8«| , ¥< 8V| , ... et -^- <p 8^ peuvent être intégrés par parties par rapport à x^ et donneront
U, ow, -f- Vj ot», -H ... -h -j- (f ^xj dx
dx (3) \ ,r.-Fo-hFi~F,-4-F,-...
^1 . dV^. . .
Fo, Fj, ... désignant les valeurs de l'expression
F —. U, 8w -h Vi 8(^ -h . . . 4- îp ûo:
aux points où la parallèle aux x le long de laquelle on intègre entre dans le champ et en ressort (/?^. 12).
Fig. la.
On a d'ailleurs, en désignant par No X, N, X les angles que la normale extérieure à la courbe qui limite le champ fait en ces divers points avec Taxe des x positifs, et par ds^^ ds^y ... les arcs interceptés sur la courbe entre la droite^ et la parallèle infiniment voisine y -\- dy^
dy =z — dsfi cosNoX ::.- dsy^ cosN|X = ....
L'équation (3), intégrée par rapport à y^ donnera donc
G ( Ui 8m, -+- Vj Sf'ï ^- . . . -H ^ <p Sa? W;r rf/
— /(U, Sw-hVjSp-H.. .-+-q)8ar)cosNXd:s
la première intégrale étant prise le long de la courbe limitet et la seconde dans tout le champ.
On peut opérer de même sur les termes
U, oMj 4- V, 8^, -h ... 4- ^ <p 8/
en les intégrant par rapport à y. On trouvera ainsi
81 m r( A (îw 4- B 8(^ f- . . . 4- D 8j7 + E 8/) ds
en posant, pour abréger ,
A = U, ces NX -+- U, cosNY, Br=zVjrosNX-hV, cosNY,
D=::i<pCOsNX,
E=:<pcosNY,
dV, é/U,
N:=rV-
dx dy
dW, d\j dx dy
398. Cherchons à quelles conditions on doit satisfaire pour que cette quantité s^annule pour tout système de valeurs de Sx, 8^, $2/, Sç', . • . compatible avec les données du problème.
1° Si les limites du champ et les fonctions e/, (>, . . . sont
entièrement arbitraires, on pourra assigner à ^x, S^, 8a, S^', ... des valeurs absolument quelconques. Posant d'abord
6 étant une quantité qui s'annule aux limites du champ, l'intégrale simple aura tous ses éléments nuls, de sorte que SI se réduira à l'intégrale
Qe«(M»-hN»4-...)^^<r»
qui ne peut s'annuler que si Ton a séparément
Mnrz O, N =0,
Ces équations aux dérivées partielles détermineront les fonctions inconnues u, v^ ....
Les fonctions arbitraires introduites par cette intégration et les limites de l'intégration s'obtiendront en exprimant que l'intégrale simple à laquelle se réduit ol s'annule également, quelles que soient les fonctions 8x, Sjk, 8w, 8r, .... En posant
on voit qu'on devra avoir séparément
A = o, B = o, ..., Emo.
1^ Supposons que, sur la limite du champ (ou seulement sur une portion de cette limite), on ait une équation de condition
Cette relation devra subsister entre les nouvelles valeurs limites ûc -+- Bx^ y 4- 87, u -f- Aa, v 4- At^, — D'ailleurs l'accroissement total ^u dû au changement de la fonction u en u H- Sw suivi du changement Aq x^y en x-\- %x^ y -^^y est évidemment égal à 8m H- W| 8:c -4- «a %y. De même
534 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRB IV.
On aura donc à la limite du champ entre les variations Zx, Sryy 8w, 8c, ... la relation
~ 6^ -h -Y^ ùy -\- --- (ùti -!- u, ex -t- w* oy) ôj: oy '^ du ' ''
Les équations A = o, B r^ o, . . . , E = o ne seront donc plus nécessaires le long de la portion de courbe considérée pour que l'intégrale simple s'annule, mais il suffira que Ton ait
OU OSP
— L -\- Ux — - -t- P| — -
dx du ôv
\ étant une inconnue auxiliaire.
On a donc une inconnue de plus, mais en même temps une équation de plus, à savoir ^ = o.
3° Supposons que Xy y, m, v^ ... soient liés par une équation aux dérivées partielles
^{x,y, UyUi,Ujy{>, ViyV^y ...)"-o.
On aura, pour tous les systèmes de valeurs des variations qui laissent subsister cette équation,
81 = 8 V (p (io: df^ ^ 8 V (ç -h \^) dx dy^
\ étant une fonction arbitraire de forme invariable.
La variation de cette dernière intégrale pourra se mettre sous la forme
A A' Sm 4- B' 8(^ -h . . . + D' Sa? -H E' ly) ds 4-jJ(M'8a4-N'8(^H-...)rfa7rf;K-
CALCUL DES yahiations. 535
Déterminons l'auxiliaire X par l'équation M'---- o. L'intégrale double se réduira à
V ( N' Sf' -f- . . . ) é/jp dy.
Il est clair d'ailleurs que Sç>. . . . pourront être choisis à volonté sans que l'équation ^ — - o cesse d'avoir lieu. Donc on devra avoir ]\'=:t o,
Reste l'intégrale simple, qui devra s'annuler tant que l'équation i^^^o subsistera. Or les variables sont encore liées par cette équation à la limite du champ. Si cette équation contient les dérivées partielles w,, Wa, ^<, s;^^ ..., elle n'apprendra rien sur les variations Sx, 8j^, 8^, 8m, de sorte qu'on devra avoir
Mais, si elle ne contient que x^ y^ u^ v^ . . . , il suffira, d'après le cas précédemment examiné, de poser sur la courbe limite
ax à y
ox au ou
V étant une nouvelle inconnue auxiliaire.
4" Supposons enfin que u^ (^, ... et les limites soient astreints à varier de telle sorte qu'une intégrale donnée
K=: V if dx dy conserve une valeur constante a. On verra,
comme au n° 361, qu'on doit avoir identiquement
y. désignant une constante.
On aura donc à former les équations qui annulent la variation de l'intégrale double
