I-f-XKzz.|g(o-f-X(l)^/a:dy

auxquelles on joindra la condition donnée K = c, qui déterminera X.

399. Nous allons appliquer les considérations qui précèdent à la solution du problème suivant, rencontré par Gauss dans la théorie de la capillarité :

Déterminer la forme d^ équilibre d'un liquide contenu dans un vase de forme donnée.

Soient

V le volume du fluide supposé donné ; 0" Taire de sa surface libre; S celle de la paroi mouillée ;

H la hauteur du centre de gravité du liquide au-dessus du plan horizontal des xy.

On obtiendra la surface cherchée en rendant minimum

l'expression

ff-+-a2-h 6V[I,

où a et 6 sont des constantes.

Soient

z l'ordonnée de la surface libre;

/?, y, r, 5, t ses dérivées partielles première et seconde;

Z, P, Q l'ordonnée de la paroi et ses dérivées partielles.

On aura

V== >^{z — Z)dxdy,

<^= X V' -^P^-+- q^ dxdyy Nous aurons donc à annuler la variation de l'intégrale

CALCUL DES VARIATIONS. 53j

double

= y.ffdxdy

avec les conditions : i** que l'intégrale V soit constante; n*^ qu'on ait aux limites du champ l'équation de condition

Nous aurons à former la variation