Considérons encore l'équation

oLx dy -^ ^y dx -\- x'^y'^ {ax dy -^ bydx) = o.

On a

{oLx dy ■+■ ^y dx)x^''^y^-^ = d(x?y^).

tQUÀTIOlTS DIFPÉUDfTIBLLBS 01DI1IÀIRB8. 2^

L'expression générale des multiplicateurs qui rendent intégrable ax dy -f- ^y dx sera donc

On voit de même que Texpression générale des multiplicateurs de x^y^t^ax dy -f- h y dx) sera

Il résulte de là que x^y^ rendra séparément intégrable chacune des deux moitiés du premier membre de l'équation proposée, et, par suite, sera un facteur intégrant, si Ton a

Ces équations simultanées détermineront aisément Ç, y|, X, (JL, si le déterminant a 6 — ^a n*est pas nul. Si ce déterminant était nul, on aurait

et l'équation se réduisant à

(i -i- kx'^y'^){txxdy -h ^y dx) = o serait intégrable sans difficulté.

24. Considérons enfin, avec M. Darboux, les équations différentielles de la forme

ArfX4-Bûri'-hC(YrfX--XrfY)=:o,

où A, B, C désignent des fonctions rationnelles de X et de Y.

Ces équations prendront une forme plus symétrique si l'on remplace, comme dans la théorie des courbes algébriques, les variables X, Y par des coordonnées homogènes, en posant

38 TROISIÈME PàBTUS. — GBAPITRB I.

On en déduira sans peine pour dH^ dY, Y dH — X dY des expressions de la forme

a{ydz — zdy) -h b{zdx — ardz) -k-ciœdy — ydx)

Ces valeurs, substituées dans Téquatlon proposée, donneront une transformée de la forme

(7) h{y dz — z dy) '\-}IL{z dx -- X dz) -^^{x dy — y dx)=iO,

L, M, N étant des fonctions homogènes en x^ y^ Zj et d^un même degré, que nous désignerons par m. Cette équation peut encore s'écrire ainsi

(8) Pdx-hQdy-hRdzzno, en posant

q = ^x — hzy

R=Ly —Mx\ d'où

(9) Px-^Qy-^Rz^zo.

23. Pour chaque point j?, y^ z du plan, la direction de la tangente à la courbe qui représente géométriquement Tintégrale sera donnée sans ambiguïté par Téquation (8). Il y a toutefois excepllon pour les points où Ton a simultanément

pour lesquels l'équation (8), étant identiquement satisfaite, n'établit plus aucune relation entre dx, dy, dz.

Ces points singuliers sont évidemment les seuls par lesquels puissent passer plusieurs branches de courbes distinctes satisfaisant à l'équation différentielle. On peut donc affirmer que tout point multiple d'une courbe intégrale ou tout point d'intersection de deux courbes intégrales est nécessairement un point singulier.

Cherchons le nombre i de ces points singuliers. Nous re-

ÉQUATIONS DIPFÉRBNTIBLLES ORDINAIRES. aQ

marquerons, à cet eifet^ qae les points communs à ?= o, Q = o, en nombre {m + x)^, satisfont en vertu de (9) à la relation R« = o. On aura donc

(m-hi)« = Ç-Hii,

T\ étant le nombre des points communs à P = o, Q == o,

D'autre part, les m + 1 points communs à P = o, z = o

satisfont à la relation Q^ = o. D'ailleurs, un seul d'entre

eux, savoir 5 = o, j' = o, satisfait à ^ ^ o. Les m autres

donneront

donc

t) = /n et Ç = m* -h m -H I .

26. Cherchons maintenant la condition pour qu'une courbe algébrique

soit une intégrale de l'équation différentielle. On trouvera, en diflférentiant l'équation ci-dessus,

ùx dy '^ oz

On a d'autre part, pour tout point de la courbe,

àf àf df -

''-t-^^t^-^'dz^'P^^''^

p désignant le degré de la courbe /= o.

Des deux équations précédentes on déduit celle-ci

àl dl df

dx __ ôy __ dz

y dz — zdy z dx — xdz xdy — y dx

dont la combinaison avec l'équation différentielle (7) donnera