I-t-XV
ce qui donnera Téquation aux dérivées partielles
R ' Ri
Les fonctions arbitraires de Tintégration se détermineronl parFéquation V=const., jointe aux conditions aux limites.
401. Le calcul des variations fournit un procédé commode pour la transformation des équations aux dérivées partielles.
Pour en donner un exemple, considérons, avec Jacobi, l'intégrale triple
-S[(S)"Kf)'-(S)>-^-
Cherchons la variation SI en supposant le champ d'intégration invariable, ainsi que les valeurs de V et de ses dérivées du premier ordre aux limites du champ On aura
\J\dx dx dy dy dz dy J ^ ^
ou, en intégrant par parties les trois termes respectivement par rapport k x^ y^ z et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,
La condition pour que 31 soit identiquement nul sera donc fournie par Téquation aux dérivées partielles
d'V d'\ d'\ Remplaçons les coordonnées rectangles x, y^ z par un sys-
CALCUL DBS VARL4TI0ISS. 5^1
tème de coordonnées curvilignes orthogonales t, ei, v^ définies par les équations
ou
On aura (t. I, n« 530).
dT d^ dF d^ d¥ d^
àx àx dy dy dz dz
dx dx dy dy dz xjz â'V ôF d^ dF d^^ dV
--zzro,
dx dx dy dy dz dz
iZh i^h (f )■= '•
\dx
/dwy fd^V\^
dx* -h dy« -h ûf5* rz: —- -h h
Enfin l'élément de volume rapporté aux nouvelles coordonnées sera
- , dtdudv , , , dx dy dz ^=1 - ,^. ..-rr- t= J dt du dç,
^AAjA,
J = étant le module du jacobien de a:, j^, z par rapport à ^, {/, i^.
On a d^ailleurs
dVdWdF àYd^ dV d^ dx dt dx du dx dv dx
dW dV dF dV ô<^ dV dw
dz dl dz ' du dz dv dz '
54a TttOISlfcXR PARTIE. — CHAPITRE ir. .
d'où, en tenant compte des relations précédentes,
fc) ^tej ^fe) --H^) -^^'U) -^^'Uj •
L'intégrale I, rapportée aux nouvelles variables /, «, r, deviendra donc
s[Kw)'-.<£)'-<^:)']— ■
Le champ de cette nouvelle intégrale sera invariable comme celui de l'intégrale primitive, ainsi que les valeurs de V,
-r-> w- > -X- aux limites du champ.
d£ du dv ^
Exprimons que 81 s'annule dans ces conditions. On aura
ou, en intégrant par parties les divers termes de cette expression et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux limites,
La condition pour que SI s'annule identiquement sera donc
— AJ - 4- - A, J ;r H -p Aj J -- — o.
Ôt Ut OU OU OV OV
Cette nouvelle équation est donc équivalente à l'équation (5), dont elle sera la transformée.
FIN DU TOME TROISIÈHB ET UERNIBIt.
22169 Paris. - lopr. GAUTIllER-VILLARS ET FILS, quai de* (;raad«.Au](tt«Uo«. SS.
