XV
où
— cpcosNX,
TT bz
ces NX -h ^- cosNY,
E =: (pcosNY,
L'équation aux dérivées partielles de la surface libre cherchée sera donc
Cette équation est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. En effet, le dernier terme de M est égal
à 5- -h "s-j R et R| désignant les deux rayons de courbure
principaux. On aura donc
Passons à la considération de l'intégrale simple. On a, le long de la courbe limite, 2 =: Z, ce qui réduit cp à ses
538 TROISIÈXB PARTie. — CHAPITRE IV.
deux premiers termes
On déduit d^ailleurs de cette équation aux limites la relation suivante :
Tirant de là la valeur de ùz pour la substituer dans Tintégrale^ puis égalant à zéro les coefficients de ^x et de o^, il viendra
/?cosNX-i-7cosNY,-3 . „.
pcosNX -^- 7cosNY ,^ «..,
(Q — ^) -»" ? cosNY = o.
On a d'ailleurs évidemment, en désignant par x, y^ z et X -f- ûte, y -\- dy, z -{- dz deux points infiniment voisins de la courbe limite,
et d'où
et enfin
cosNX ^ - 4^, cosNY r^ ^
as as
dz-=p dx -h qdy z=zP dx -h Q <^/ ; (P — p)dx-\^{q-q)dyz=zo
(?—/?) cosNY --- (Q — ^) cosNX.
La première des équations (4) deviendra donc, en éliminant cosNY et supprimant le facteur cosNX,
\Ji-\-p'^q*
OU
/r-hp*-i^ V^i -h P* 4- Q
ou enfin
cosf + a = 0,
CALCUL DBS TÀRIATIONS. 53^
i désignant Tangle des plans tangents à la surface libre et à la paroi du vase. Cet angle sera donc constant.
La seconde équation redonnera ce même résultat en éliminant cos NX et supprimant le facteur cosNY.
400. Cherchons encore à dû terminer les surfaces d'aire minima. Il faudra annuler la variation de l'intégrale
Irrr
V v/i -^ p^~\-q^ dxdy.
Posant a = i = X = o dans les calculs précédents, on aura ol " : Aa 05 4- V T-t-^^i^ (ces NX 8a; -h cosNY S/)] ds
L'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées sera
donc
ou
Cette équation a été intégrée au n° 280.
Si l'on donne le contour qui limite le champ et la valeur de z en chacun de ses points, on aura à la limite 8^ = o, 8y = o, 83 = 0, et l'intégrale simple disparaîtra d'elle-même. Mais les valeurs limites des trois variables donneront une courbe par laquelle doit passer la surface cherchée, et l'on aura à déterminer par cette condition les fonctions arbitraires que l'intégration a introduites.
Si une portion de la courbe limite est inconnue, mais assujettie à se trouver sur une surface donnée 3 -:= Z, on aura, pour l'angle i sous lequel la surface inconnue vient la rencontrer, l'équation
ces i .= o,
laquelle montre que les surfaces se coupent à angle droit.
54o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Supposons enfin qu^on demande la surface d^aire mînima qui renferme un volume donné V. On aura à annuler la variation de l'intégrale
