Considérons, comme application, Féquation de Jacobi
{ax -i- by -j- cz) {ydz — zdy) -+- (a' j? -h b'y ■+- d 5) (zdx — œ dz) (a' X H- h' y -\- c'z) {xdy — ydx) = 0.
Cette équation admet trois droites comme solutions particulières. En effet, la condition pour que la droite
/t= ux -h i^y •+■ wz •=. o
soit une solution sera, diaprés la théorie précédente,
{ax-^-by -^cz)u -h {a' x -^ b' y -^ c' z)v -\- {a'x -{-b'y -i- c' z)\¥ 1=1 k{ux ~\-vy-\- wz)j
Ar étant une constante.
Cette équation donne les trois suivantes
iau -\- a' V -\- a' w =1 ku^ bu-\- b' v-\- b'w^kVf eu -h c' V -h c' w =: kwy
d'où Ton déduit pour k Féquation du troisième degré
et
Soient Ati, /ts, k^ ses trois racines. A chacune d'elles k^ correspond une droite /p, pour laquelle les rapports des coefiicicnts 1/, v^ iv seront déterminés en fonction de k^ par les équations (i4)-
Cela posé, l'intégrale générale sera
/■?*/?•/?'= cûnst.,
^11 ^.'^ ^j étant déterminés par les relations
ÉQUATIONS DIPFÉRBNTIBLLBS ORDINAIRES. 87
auxquelles on satisfera en posant
où la dérivée y se trouve à un degré supérieur au premier, exigent, pour être traitées par les méthodes qui précèdent, la résolution préalable de Téquation par rapport à y\ ce qui peut présenter de graves dilKicultés. Mais on pourra, dans certains cas, se dispenser de cette opération par Tintroduction de variables auxiliaires.
33. r* Considérons d'abord les équations qui ne contiennent que la dérivée y et une seule des variables x^y*
Ces équations sont des deux formes suivantes
suivant qu'elles contiennent la variable indépendante x ou la fonction inconnue y. Mais ces deux types d^équations se ramènent immédiatement Tun à l'autre en prenant la fonction pour variable indépendante, et réciproquement.
Nous nous bornerons donc à considérer les équations de la forme
Si Ton sait exprimer j'' et^ au moyen d'une variable auxiliaire u par deux équations
dont le système soit équivalent à Téquation unique (i 5), l'intégration sera ramenée aux quadratures. On aura, en eOet,
38 TROISllMB PARTIS. — GHÂPITRB 1.
d'où
du + const.
avec
Ce cas se présentera en particulier si l'équation (i5) représente une courbe de genre o ou i , lorsque Ton y considère j^,^ comme les coordonnées d'un point. Les fonctions cp et <]i sont alors rationnelles ou elliptiques, de telle sorte que les intégrations pourront se faire.
Considérons, par exemple, l'équation
Posons j'= uyi substituant et supprimant le facteur j^*, il viendra
du
fl — 3l4^
= / ( 3 H Wtt = 3 tt -h log h c.
J \ M — I u-hij ^U-hl
34. 2® Il existe une classe assez étendue d'équations différentielles qu'on peut intégrer à l'aide d'une différent! a tion préalable.
Considérons, en effet, l'équation
On en déduira, par la différentiation,
Prenons 7' pour variable auxiliaire; nous aurons la nouvelle
équation
dy — y dxz=zo
qui, combinée à la précédente, donnera un système de deux équations simultanées pour déterminera^, y.
EQUATIONS DtFFtRSNTIBLLBS ORMlfÀlRSS. Sq
Supposons qu'on soit parvenu à déterminer des multiplicateurs My Ny tels que Ton ait
d^ étant une différentielle exacte.
Les équations /= o, dy — y dx = o seront, en général, équivalentes aux deux suivantes :
/= o, d^=.o ou
On n'aura plus qu'à éliminer y entre ces deux dernières équations pour avoir la relation qui lie x^ y et la constante arbitraire c.
Les deux sj^stèmes d'équations cesseraient toutefois d'être équivalents pour les valeurs de x^y^y ^ qui rendraient N nul ou infini, ou M infini. De là peuvent naître des solutions singulières.
