Considérons, par exemple, l'équation
linéaire en x et^y.
On en déduit, par différentiation,
(i6) ydx=fi,y)dx^ixf\y)^i(,y)'\dy.
dx Oette équation étant linéaire en x et -j-,^ on peut en déterminer un multiplicateur, et son intégration donnera x en fonction de la variable auxiliaire^'. Cette valeur, substituée dans l'équation primitive, donnera la valeur dey.
Un cas particulier digne de remarque est celui de l'équation de Clairaui,
L'équation auxiliaire (i6) se réduit dans ce cas à
Ed égalant à zéro le facteur dy^ on aura
et, en substituant cette valeur dans Téquation primitive,
y=LCx-\- «p(c).
La solution générale représente donc un système de droites. On aura une solution singulière en posant
Cette équation, associée à Péquation primitive, représenle évidemment Tenveloppe des droites fournies par l'intégrale générale.
peut se ramener à Téquation de Clairaut, en posant
doù
2xdjcz=: du, *xy dy-=^dv\
y dy d{> , X dx du '
Substituant dans la proposée et multipliant par ^y il vient successivement
L'intégrale générale sera
V'=.CU'\ c
ÉQUATIONS DIFFÉBBNTIBLLBS 0RDINA1RB8. ^I
OU
. B-A *^ i-hc
Posons malntenaDt
\ étant une nouvelle constante. L'équation précédente deviendra
el représentera un système de coniques homofocales, ce qui concorde avec un résultat trouvé dans le Calcul différentiel (t. I, n^l67).
37. Supposons qu'en intégrant par divers procédés une même équation différentielle
on ait obtenu deux solutions générales, de la forme
<p = const.^
<pj rz: COnSt.
On aura, comme nous l'avons vu (13), une relation de la forme
On peut déduire de celte remarque une démonstration nouvelle des propriétés fondamentales de plusieurs fonctions transcendantes.
