IV. — Équations linéaires aux différentielles totales

58. Les systèmes d'équations différentielles simultanées étudiés dans la Section précédente ne sont évidemment qu'un cas particulier des systèmes d'équations linéaires aux différentielles totales, de la forme

(I) ¥jt=^dx^--\\idx^=o

Cherchons à déduire de ces équations une combinaison intégrable

0=\ |XAFjt=:rf«p.

On aura évidemment

Éliminant les [Jl, on voit que f sera une intégrale commune aux m équations aux dérivées partielles

(,) E.=^4-y xî|L=o

dxn jLàk àx/c

(/< rr: I, 2, . . ., m; A" = m -h I , . . . , 771 -h «).

Supposons que ces équations admettent n intégrales communes distinctes (pi, ..., ^n (nous verrons plus loin dans quel cas il en est ainsi). Soient j^i, . . ., ym de nouvelles fonctions des x^ formant avec les ^ un système de fonctions distinctes. En prenant les cp et les j^ pour variables, les équations (2) prendront la forme

et seront manifestement équivalentes aux suivantes :

* — ri ' — n

àfi ôy„t

La forme la plus générale des fonctions qui satisfont à ces équations est évidemment

F désignant une fonction arbitraire.

Les fonctions (p,, ..., cp;, étant des intégrales du sys« tème (2), on aura des relations de la forme

«'?.■= y H-a-Faî

ÉQUATIONS DIFPÉRBNTIBLLBS ORDINAIRES. 69

Cl le système (i) équivaudra au suivant d'où l'on déduit

<p, z=z const. , . . . , «P/i = const.

d<Oi