I -h ecos(a) — c') eo posant, pour abréger

On aura enfin (a6) rfi=-rȎ/a)= ^

V c[n-ecos(a) — c')]*

équation qui déterminera t par une quadrature. h — CouTf, m.

66 TROISIÈME PART». — GHAnTRK I.

Le problème deviendra complètement déterminé si l'on donne à un instant quelconque /o les coordonnées Pq, (i>o <1u mobile, sa vitesse initiale i^o et Tangle ao qu'elle fait avec le rayon vecteur. On a, en eflet, en appelant i^ la vitesse à un instant quelconque, a Tangle qu'elle fait avec le rayon vecteur

d? ="' '•*-^ = r,sm..

Les équations (28) et (24) peuvent donc s'écrire

rvsinoLziziCy

On aura donc, en posant t = ^,tf,

czuroCoSinao, c' =z — irj

On déterminera ensuite (f en posant t= t^ dans Téquation (25); enfîn, Téquation (26), intégrée de to à /, donnera

^'"X. c[i-+-ecos(u>-c')]«"

L'équation (25) entre r et co fait connaître la trajectoire du mobile. C^est une conique ayant un foyer à l'origine. Ce sera une ellipse si c'>>o, une parabole si c'=o, une hyperbole si c'< o.

On a, d'autre part, en désignant par A l'aire comprise entre la courbe et les rayons vecteurs r et Tq,

L'équation (23) peut donc s'écrire

d\ ^di^''

ÉQUATIONS DIFFÉREMTIBLLBS ORDINÀIKBS. 67

d OÙ, en inlégrant de /« à i,

Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc pro^ portionnelles aux temps correspondants.

Supposons la trajectoire elliptique, et cherchons la durée T d'une révolution. L'aire A correspondant à cette période de temps sera l'aire totale ica6 de Tellipse. On aura donc

t^ab =1 -T.

D'ailleurs

c = y A: Mp =zy/ kM —

Substituant cette valeur dans l'équation précédente, il viendra

La durée de la révolution est donc indépendante de l'excentricité de l'ellipse, et proportionnelle à la puissance \ de son grand axe.

Nous avons ainsi retrouvé toutes les lois fondamentales énoncées par Kepler.