Soit
le système d'intégrales distinctes du système (7), dont l'existence vient d'être démontrée. Ces intégrales, considérées comme fonctions de â^m+u •••j^m+n seulement, seront encore distinctes.
Admettons, en effet, qu'elles satisfissent à une relation de la forme
L*opération X^, appliquée à cette identité, donnerait
(car f I, . . . , f A sont des intégrales de l'équation X^cp = o). La fonction F serait donc indépendante de ^1, . . . , Xmy et les fonctions f 1, . . • , cpu ne seraient pas distinctes, résultat con-* traire à leur définition.
70 TROISlftHB PARTIE. •>- GHÀPITaB I.
Posons maintenant ©,(a-,, ..., .r;„+„) = o/(C|, ...,C;«;4;,, ...,<};«) (« = i, a, ..., n),
^4) '''jC„i désignant des constantes arbitraires. Les quantités (]/|, . . ., ^nj défînies par ces équations, seront des fonctions distinctes des intégrales primitives fi(Xi^ . . .,Xm^„). Elles formeront donc un nouveau système d'intégrales distinctes. Elles jouiront d'ailleurs de la propriété caractéristique de se réduire respectivement à Xm-^i^ •••» ^m+m lorsqu'on donne simultanément à :ri^ ..., Xm les valeurs particulières Cl, . . ., Cm*
Cela posé, remplaçons les m premières variables Xij . . ., Xm par de nouvelles variables jKd -••^J^'m» définies par les relations
(lO) ^A=C/, -h(/i—C,)jA (A — 1,2, ...,/7l),
et résolvons les équations transformées par rapport à -j-j-> -••, -T-^' Nous obtiendrons un nouveau système jacobien
àyti ÂmÀk àxk
{h=zi,2y . . . , /n ; A" =1 m -f- 1 , . . . , m 4- /«)•
Les fonctions ^^j ..., ^n^ exprimées au moyen des nouvelles variables, donneront un système d'intégrales distinctes des équations (i i). Elles se réduiront d^ailleurs respectivement à Xm^it . . ., Xrn^n lorsquc ri =C|, quels que soient ?'27 ••Mj'm; car, pour ^, = C|, les équations (lo) donnent
X^ = C| , • • . , Xffi = Cm»
66. Pour intégrer le système transformé (ii), il sufTira, comme l'a montré M. Mayer, d'intégrer l'équation unique
A cet effet, nous remarquerons que cette équation admet les intégrales ^i, . • ., ^/,, lesquelles, jointes aux intégrales
ÉQUATIONS DIFPÉRBNT1ELLK8 ORDIlfÀlRBS. 77
évidentes ^2» • • • > J^'mi donneront un système de m + n — i intégrales distinctes. Toute autre intégrale
de cette équation sera donc une fonction de celles-là, telle que
Si dans Tégalité
/(y M • • • > y m } ^m4-l» • • •» ^m-t-n) ^^— ** \7ï> • • • » ^/n i Tl» • • • > V»)»
nous donnons à jKi 1^ valeur constante C|, il viendra
et, par suite,
On voit par là qu'une intégrale quelconque / de l'équation (i a) étant supposée connue, on obtiendra immédiatement son expression en fonction de ^^2, . . -j ymi ^d • • •> ^a* en remplaçant dans la fonction / les variables y^ , x^+n • • • >
Cela posé, admettons que nous soyons parvenus à intégrer l'équation (12), en y considérant ^1, J:m+i» •••> J^w+/i comme seules variables, et ^27 •••i^n» comme des paramètres (ce qui revient, comme nous l'avons vu, à déterminer une solution générale d'un système de n équations différentielles ordinaires). Soit /i, . . ., /„ un système d'intégrales distinctes de cette équation; on aura, ainsi qu'on vient de le voir,
F|, ..., F/i étant des fonctions connues de y^^ ..., jK/«; tl,, . . ., ^/i*, et il suffira de résoudre ces équations par rapport à i(\j ..., ifn pour déterminer ces fonctions, lesquelles forment un système d'intégrales des équations (i i). D'ailleurs, la résolution de ces équations ne sera jamais impossible, car les fonctions j^'2, ...jj^mi/i, .. ,/« étant distinctes.
78 TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITBB I.
/o •• ^tfn sont nécessairement des fonctions distinctes par rapport à ^,, • • ., i/n*
67. On peut aller plus loin et montrer que la connaissance d'une seule intégrale /i de l'équation (12) permet de déterminer une ou même plusieurs intégrales du système (i i)* On aura, en effet,
F| étant une fonction connue. Résolvant cette équation par rapport à <{/|, on aura une relation de la forme
où 6| est une fonction connue.
Effectuons sur cette identité l'opération Y^, h désignant l'un quelconque des nombres i, 2, ..., m. Il viendra, en remarquant que <{/|, , . .yifn sont des intégrales de Y^^ = o,.
o = Y*e. = ;^ YV. + . . . + ^^ Y*^„,».
Le second membre de cette équation est une fonction connue de jko • • - ; ^m^n\ ^2? • • • > ^/i- S'il ne s'annule pas identiquement, il contiendra l'une au moins des quantités ^, par exemple ^2 ; car les variables y^^ . . . , Xm^n sont indépendantes. En résolvant par rapport à t{/a, on obtiendra une relation de la forme
Effectuons sur cette équation l'opération Y^, on en déduiraune nouvelle équation pour déterminer ^sj ^t ainsi de suite jusqu'à une dernière équation qui donnera ^z,. Le système (i i) sera dès lors intégré.
On ne pourra se trouver arrêté dans cette suite d'opérations que si Ton arrive à une équation
ÉQUATIONS DlFFftBBNTIBLLES OROINÀIBBS. 79
pour laquelle on ait identiquement
Mais alors, en remplaçant dans 6| les fonctions inconnues ^/+|^ • • •) ^/i P^i* ^^^ constantes quelconques, on obtiendra une fonction <fi qui satisfait évidemment aux mêmes équations, et qui sera, par suite, une intégrale du système (i ■)•
68. Nous pouvons énoncer, comme résultat de cette étude, le théorème suivant :
Pour qu'un système d'équations aux différentielles totales
(1) Vk--=.da:k — y Xj{ dx,, — o
(A nz I, 2, . . ., m; A:=: m -h I, . . ., /w H- /i)
admette n intégrales distinctes
(p, = const., ..., ««rrconst.,
il faut et il suffit que les équations aux dérivées par-tielles
forment un système jacobien.
Cette condition étant supposée remplie, la recherche des intégrales du système dépend de l'intégration d'un système de n équations différentielles simultanées.
Chaque intégrale de ce dernier système fournira au moins une intégrale du système proposé.
69. Soit S un système d'équations aux difiérentielles totales de la forme (i) et admettant n intégrales distinctes Çi, ..., tfn' Si nous y changeons o^i, -^^Xm^n en Xi H-eÇi, ..., ^nH-n + ^im+;i9 ^ étant un paramètre infiniment petit, dont nous négligerons le carré, et Ç| , . . . , Im^n des fonctions de jTi, . . . , Xm-^n-i nous obtiendrons un autre système S'.
8o TROISifiMB PARTIE. — GflÀPlTRE I.
A toute intégrale cp du système S correspondra évidemment pour le système S' une intégrale
^{Xi -4- eÇ,, . . ., x,a^n -+- eÇ«+n) = f 4- eA®,
en désignant par A l'opération
§1 TZ" "+"■••"+" s/n+/i
<Jx, ""^"dar
Cette opération est complètement définie quand Ç|, ..., im+n sont donnés, et réciproquement. Soient d'ailleurs y*, » ' '^ynt^n de nouvelles variables quelconques, fonctions des X. Lorsque X{, . . ., û!^m-\-n s'accroissent respectivement de eii, ..., t^m+nj >'i s'accroîtra de
quantité que nous désignerons par ern. D'autre part, on a évidemment
dxi dx{ dfi dxi dyt On déduit immédiatement de là l'égalité
L'opération associée à la transformation infinitésimale considérée reste donc la même, lorsqu'on change de variables indépendantes.
Nous désignerons, pour abréger, par Ao la transformation infinitésimale qui correspond à l'opération A, et qui, par suite, change l'intégrale ^ en cp + e Acp; et nous dirons que le système S admet cette transformation infinitésimale A y si le système transformé S' est équivalent à S.
Pour cela, il faut et il suffit que le système S' soit équivalent au système
^Çi = o, .... d^n^o.
ÉQUATIONS DIFFÊRENTIKLLBS OBDINAIRBS. 8l
auquel S est équivalent; et, par suite, que les systèmes S et S' admettent les mômes intégrales.
Or à toute intégrale f de S correspond une intégrale tf -h e Af de S'. Celle-ci devra être une intégrale de S, ou, ce qui revient au même, Â^ sera une intégrale de S.
Si donc nous désignons, comme précédemment, par
les équations aux dérivées partielles qui caractérisent les intégrales de S, ces équations devront entraîner comme cooséquence les suivantes
ou, ce qui revient au même, celles-ci
X*Aç — AX'^(p=i(XA<p,A(p)=:o (A = 1,2,.,., m)
[car on a identiquement AX^ f = A(o) = o]. Cela posé, le système formé des équations
X*«p = o, (X'^<p,A<p)=ro (A = i,2,...,m),
admettant n intégrales distinctes cpi, . . ., f/,, ne pourra contenir plus de m équations linéairement distinctes. On aura donc
(l3) (XA«>,A?) = aîX>-h...-h«J,X«<p (/i=zi,2,...,/7l),
les coefficients a étant des fonctions des x. D'ailleurs il est évident que ces conditions seront suffisantes.
70* Toute expression de la forme
représente une transformation infinitésimale de S en luimême.
