Cours, III
8a TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
En effet, on a (X"<p, ^^ 5,X'ç) =^^ [Ç,(XA Y, X'<p) + (X*7, ?,)X'?]
oar (X*y, X'«p) est nul; et, d'autre part, on a
Si donc S admet une transformation infinitésimale A<p —\^i-^ (« = ï> 2, . . ., m + /^),
il admettra évidemment la transformation
Bcp = Acp — $iX'(p — . . .— ?,„X'«(p, laquelle se réduit à la forme
Il nous suffira évidemment d^étudier les transformations de celte sorte, toutes les autres pouvant s'en déduire par l'adjonction d'une fonction linéaire de X'^p, ..., X'^y.
Pour les transformations de la forme R(p, les équations de condition (i3) prendront la forme plus simple
(X'^?,Bç) = o;
car le premier membre de ces équations, ne contenant pas
les dérivées partielles -77- > •••> ^-^y ne pourra se réduire à
une fonction linéaire de X'cp, . . ., X'"<p que s'il s'annule identiquement.
71. Si S admet deux transformations Bcp, B'f, il admettra la transformation (Bf , B'f ).
ÉQUATIOKS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 83
Oq a, en effet (47), rideiitité (X*ç, (Bcp, B'^)) -h (B^, (B>, X*^)) 4- (B>, (X>^ç, Bç)) = o.
Mais (X*o, B(p) et (B'y, X*<p) sont nuls par hypothèse ; donc cette égalité se réduira à
(X*cp,(B^,B'<p))::.:0.
72. Soient B'f, ..., B'cp des transformations du système S qui ne soient liées par aucune relation linéaire; si Texpression
est une autre transformation du même système, ^i, ..., P/ seront des intégrales, et réciproquement. On a, en effet,
(X*(?,B(p)=^^(X/'cp,p,B'ç)
=2^[(X'*?,p/)B'(p-H(X>^cp,B'<p)p,]=^^X^p,B'(p,
expression qui ne peut s'annuler, par hypothèse, que si tous les coedicients X^^/ sont nuls, ce qui montre que ^i est une intégrale.
73. Enfin, si Ton connaît un multiplicateur [Ji du système S et une transformation infinitésimale Bf , on en déduira une intégrale.
Soit, en effet,
Nous aurons, quel que soit A,
o = (X*?,Bcp)
^i dxh dxi ^iZàk\ ^ oxk ^ dxk) dxi i et k variant de m -f- i à m -{- /?.
84 TROISIÈMB PARTIE. — GHAPITRB 1.
Dans celte identité, les coefficients de chacune des dérivées partielles -^ doivent être nuls séparément; nous aurons donc
DifTérentions cette équation par rapport à Xi\ sommons par rapport à i et supprimons les termes qui se détruisent; il viendra
^i ÔJCh dxi Z^tZdkK * ^^i à^k * àxi dXkJ
~ \Zàiàxi) xZàiàxi) Mais on a, d'autre part,
àxh ^i dxi ou, en développant et divisant par pi,
LàiàXi {1
L'équation précédente pourra donc s'écrire
Cette équation, qui a lieu pour A=:i,..., m, montre que
est une intégrale.
74. Admettons qu'en combinant les procédés ci-dessus, ou autrement, on ait réussi à obtenir p intégrales dis-
ÉQUATIONS DIFFÉRBNTIBLLES ORDINAIRES. 85
liactes <pi, . . ., f^ du système S. En prenant cpi, . . ., ^p pour variables à la place de or^+o •••> ^m^p pstr exemple, les équations X^f=:o seront transformées en de nouvelles équations de même forme, mais ne contenant pas les dérivées
partielles^» •••> -y^> puisque cpi, ..., ^p sont des solutions.
On aura donc
dxh ^k àxf, ( /i = 1 , 2, . . . , m ; Xr =1 m -h /? 4- I , . . . , '^ -H '* ) »
les Xj[ étant des fonctions de cp,, ..., cp^, x^j^p^xy ...,
Soient B'f, ..., B^^, ... les transformations infinitésimales que Ton suppose connues. On aura
~Zài àfi Zàk * àxk (i=z:i, 2, . . .,/?; A-^im -+-/? H-i, . . . , /n -4- /z).
D'ailleurs, cp/ étant une intégrale, B^<p/= p^ sera également une intégrale. Si nous admettons que nous ayons tiré tout le parti possible des procédés ci-dessus indiqués, cette intégrale ne sera pas nouvelle, mais se réduira à une fonction de
çi, ..., ^p-
Posons, pour abréger,
et supposons que, parmi ces expressions, il y en ait q qui soient linéairement distinctes, à savoir A', . . ., A^. Les suivantes A^+*, . . . seront de la forme
A^^J* = Y;^A'-*-...-hYjA^
les coefficients y étant des fonctions des ^, et par suite étant des intégrales.
Cela posé, on aura évidemment
Dt^o étant une nouvelle transformation infinitésimale, qui se réduit à la forme plus simple
âa:.
Admettons que, parmi les transformations de cette sorte ainsi déterminées, il y en ait r linéairement distinctes D'cp, . . . ,
Toutes les autres seront de la forme
eiD'<p -h. . .-+-e^D''<p,
où les quantités £«, . . ., er devront être des intégrales, et par suite des fonctions de cpi , . . ., tp^.
Réciproquement, toute expression de cette forme représentera une transformation infinitésimale du système S.
£n particulier, les transformations
(D'(p,D*Q) ne contenant pas dans leur expression les dérivées -~> •••> ■7-^> devront être de cette forme.
75. Cela posé, deux cas pourront se présenter : I** Si /? -I- /• <[ ^i les équations
X^cpzzzo, D'<p = o (A=:i, 2, . . ., /n; i 1= I, 2, . . ., /•)
entre les m~\-n — p variables X| , . . . , ^;„, Xm+p^\, . . . t •^w+zi ((^1, . . ., ^p étant traités comme des paramètres) forment un système complet, en vertu des relations
(X'<p,X*?) = o, (D'ç,X*<p) = o, (D'ç,D*(p) = ei*D'(p-t-...-he'/D''(p.
Ce système admettra donc n — p — r intégrales, (p^^i , ...^
Ofl ri qui sont évidemment celles des intégrales du système S qui ne sont pas altérées par les transformations D'f , ..,, D''^ . Lorsqu^on les aura trouvées (par l'intégration d'un système de n — p — r équations diflcrentielles ordinaires), les r intégrales encore inconnues dépendront de l'intégration d'un second système de r équations diflTérentielles.
L'avantage obtenu dans ce cas consistera donc à décomposer en deux le problème de la recherche des intégrales Ç/»+i, •••;©/! encore inconnues.
2" Si p -{- r = n , la connaissance des transformations D'(p, . . ., D''^ fournira un multiplicateur du système.
Soit, en effet,
D.,=^îi
et désignons par A le déterminant des coefficients ^j[; par J le jacobien des intégrales inconnues f/^+i, ..., <fn par rapport aux variables x^.
Formons le produit AJ par la règle connue; on obtiendra un nouveau déterminant I, dont les éléments sont les quantités T>'fk' Or ces expressions sont des intégrales; donc y sera une intégrale ; d'autre part, J est un multiplicateur ; donc y sera également un multiplicateur.
Or cette quantité est égale à -9 quantité connue.
