V. — Étude directe des intégrales

76. Les méthodes que nous avons exposées jusqu'à présent avaient pour but de trouver l'intégrale générale des équations différentielles. Mais elles ne réussissent, comme on l'a vu, que dans des cas fort limités, et nous ne pouvons même assurer que l'intégrale cherchée existe en général, car son existence a été admise sans démonstration.

Il est donc nécessaire de reprendre le problème de l'inté-

88 TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRB I.

gratîoD, en le précisant, de manière à le rendre déterminé. La question ainsi posée peut se formuler ainsi :

I** Étant donné un système adéquations différentielles normales

dy j,, . dz ,

démontrer quHl existe, sous certaines conditions à préciser, un système unique de fonctions y, z, . . . Jouissant de la double propriété de satisfaire à ces équations, et de prendre respectivement des valeurs données yo^ ^o^ • • • pour une valeur donnée Xq de la variable indépendante ;

2^* Donner une méthode qui permette de calculer, avec telle approximation qu'on voudra, la valeur de ces Jonctions pour toute valeur réelle ou imaginaire de x ;

3** Enfin, discuter les cas d^exception oà les résultats établis se trouvent en défaut.

77. Supposons tout d'abord que les variables et les fonctions considérées soient réelles; et considérons, pour éviter des longueurs, le cas de deux équations

Nous devrons admettre pour la démonstration :

I® Qu'aux environs du point (xo, v©, Zq) les fonctions /,

/, sont continues. On pourra donc assigner un domaine D

déiini par les relations

\x — Xo\ = r, |y— 7o| = r, \z — Zo\ = r,

dans lequel les inégalités

\x'-x\<z, |y v|<e, |5'-g|<s entraîneront les suivantes

X tendant vers zéro avec e.

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORBINAIHES. 89

2^ Nous admettrons en outre que dans ce même domaine on ait constamment

\f(x,y,z')-fix,y.z)\<m[\y^y\-^\z'-^z\l

m désignant une constante fixe.

Les conditions ci-dessus, seules nécessaires à la démonstration, seront évidemment satisfaites si aux environs du point (xo} yo^ ^0) les fonctions f^/i admettent des dérivées partielles finies.

Supposons-les remplies. Soit M le maximum des modules de /, /i dans la région D ; et soit p la plus petite des deux

quantités r, rj*

Donnons à x une valeur quelconque assez voisine de Xn pour qu'on ait

Subdivisons l'intervalle XqX en intervalles partiels XqX^, XiX2j ..., x„iXj et déterminons les quantités ^i, :;i; y2j ^2 7 • • • 5 ^j -5 par les relations

yi—yo= /(^o, yo, «o)(^i"--a?o).

/*+!— :Ka= fi^kf yky ^k){^k-k-\—^k)y

^k-k-\ — Zk=^f\{^k7 yki ^*)(^in-i — <^jt)>

On déduira de ces relations

\yk—yi\<\yk—ykA^'-^\yi^\-yi\

et, en particulier,

|j'* — /o|<MIa?jfc — OTol <Mp<r, \zk — z^\<r.

go TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Les points (xt, y^^ zCj, . . . , (^, JK> z) ne sortiront donc pas du domaine D.

78. Si les intervalles partiels sont infiniment petits, les valeurs finales y^ z tendront vers des limites déterminées. Pour l'établir, considérons deux modes de division A, A' dans lesquels les intervalles soient tous moindres que la plus

petite 8 des deux quantités e, jrv et désignons par^, z et y,

z^ les valeurs finales obtenues pour chacun d'eux; nous aurons à prouver que ^ — y et z' — z tendent vers zéro avec e.

Nous pouvons évidemment admettre que tous les points de division qui figurent dans A figurent aussi dans A'; sinon nous pourrions comparer successivement ces deux divisions A, A' à une troisième A'' formée avec tous les points de division de A et de A'. Ajant prouvé que^' — y^ s" — z d'une part, etj^' — j', js* — s' d'autre part, tendent vers zéro, on verrait immédiatement que leurs difTcrences j^ — y^ z* — z tendent aussi vers zéro.

Soient donc

les points de division de A';

"**(>) '**Q\y *'0î» •••» *l> •••> *Ar»*Arl> ••"» '*'A + I » •••>'«>

la suite des valeurs correspondantes des deux variables j^, z] nous aurons

d'où

fiQUATlORS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES* 91

eif par suite, Mais on a

l/i^khfkh ^'kÙ—A^kyyky ^k)\<\/{^ki.ykh ^'kd—fi^ky/ky ^k)]

+ l/i^ky y'ky Z'k) —A^ky y ky Zk)\

Le premier terme du second membre est moindre que \\ car on a

^*/~ J^A-I < ô < e, |7'a.|— /il <^\xki-Xk\ < M8 < e,

Le second est moindre que .

^^Uy'k— yk\ -i-\^k — ^k\]'

On aura donc

On trouvera la même limite supérieure pour |^'^^, — ,3^1. Ajoutons ces deux inégalités, et posons pour abréger

Nous obtiendrons la relation Multipliant ces inégalités, il vient

ly'—yl + l-'--l -+- ~ = u < Uoe«'« l'-'.i.

Or, on a^p=^oj ^^ = ^50; donc Uo= — • Cette quantité

93 TROISIÈME PÀHTIB. — CHAPITRE I.

tend vers zéro avec e, et il en sera évidemment de même

pour ly— jkI et|3' — ,5|.

79. Les valeurs limites des quantités y^ z ainsi déterminées pour chaque valeur de x dans le domaine \x — <^o|^p sont des fonctions de x. Elles satisfont aux équations difTérentielles proposées.

Soient, en effet, y -h Ay, 2 4- A^ les valeurs de ces fonctions correspondantes à :r + A^. Intercalant entre x et x-\- ^x des points de division ^1 , Xa, . . . , nous aurons

l/ = lim\/(a?*, jA, Zk){Xk^^ — Xk)

Or, si nous supposons Ax •< S, le terme qui multiplie {xk^\ — Xk) aura son module moindre que X. La somme du second membre a donc un module moindre que

^ y^|^*+i — ^*| = XAa7,

et sa limite ne pourra surpasser cette quantité. On aura donc

R étant un reste de module moindre que X, qui tendra vers zéro avec Ao?. Donc^ a bien pour dérivée /(a:, y, z). On verra de même que z a pour dérivée /« (j?, y, z).

80. La solution que nous venons de trouver est la seule possible.

Soient, en effet, Y, Z deux fonctions jouissant comme j^, z de la double propriété de satisfaire aux équations différen-

fiQUÀTIONS DIFFÉRBNTIBLLES ORDINAIRES. gS

tîelles et de se réduire à ^o» ^o pour x = Xo» Les fonctioDS Y — yjl* — ^ auront respectivement pour dérivées

Elles sont donc continues et comme elles s'annulent pour X = Xo, elles ne pourront acquérir une valeur différente de zéro qu'après avoir passé par toutes les valeurs intermédiaires.

D'autre part, en vertu de nos hypothèses, tant que Y — y, Z — z seront moindres que e en valeur absolue, le module de leur dérivée sera <<m.2e, et le module des fonctions elles-mêmes sera moindre que m.2e\x — Xo\»

Il en résulte que dans tout l'intervalle de Xn — -, — à

^o-f- -; — les modules de nos fonctions seront -< - tant

qu'ils seront <; e. Us ne pourront donc atteindre aucune

des valeurs comprises entre - et e, ce qu'ils devraient faire

pour pouvoir atteindre ou dépasser e. Donc ils resteront toujours moindres que e, quantité arbitraire. Ils sont donc nécessairement nuls.

Le même raisonnement montre qu'étant nuls au point

^0 -f- 7 — > "S le seront encore de Xq + 7 — a Xo -f- 7 — » • • •> L\m i\ni [\m

et enfin, dans tout le domaine de x^ — p à ;ro + p où nous

avons pu définir les fonctions y^ z,

81. Passons au cas des fonctions et des variables complexes. Soit encore

un système de deux équations différentielles.

g4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1.

Nous admettrons Ici que (oTcj/'oi^o) soit un point ordinaire pour les fonctions /, /|. On pourra donc, par définition, tracer autour de Xq^ y^^ Zq des contours fermés K, K', K", tels que y, /<, et leurs dérivées partielles restent monodromes et continues, tant que ^,y, z ne sortiront pas de ces contours.

Soient d, d'y d' les distances minima des points x^y jko» ^o à K,

K', K"; S, S', S" les périmètres de ces contours; M une limite supérieure du module de /et de/i, lorsque x,

y^ z décrivent respectivement ces contours.

On pourra écrire

ces développements restant convergents tant que les modules de X — x^^ y — J'o> ^ — ^0 resteront inférieurs à rf, rf', rf". D^ailleurs

et Ton aura (T. I, n« 206)

et, a fortiori,

en désignant par r la plus petite des quantités d^ d' y d"^ et posant, pour abréger,