Considérons, en second lieu, l'équation différentielle
où f{x^ y) a la même forme que dans l'exemple précédent. Cherchons à déterminer les intégrales de cette équation, qui s'annulent pour x-=o.
Soit
Substituons, dansf l'équation différentielle, à la place de j', une série
et égalons les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres. Nous obtiendrons une suite d'équations de la forme
où f{jL est un polynôme à coefficients entiers positifs, formé avec les coefficients a, et les quantités c<, ..., c^\.
Si \ n'est pas un entier positif, on pourra résoudre ces équations par rapport aux c, et l'on en déduira un résultat de la forme
^pt étant une somme de termes ayant pour numérateur un
ÉQUATIONS DIFFÉRBNTIELLBS 0EDINAIRE8. Il3
produit de coefficients a, multiplié par un entier positif, et pour dénominateur un produit de facteurs de la forme [jl — X. Ces derniers fadeurs sont tous différents de zéro, et leur module croît indéfiniment quand [jl augmente. On pourra donc déterminer une limite inférieure / de leurs modules.
Cela posé, la série (i3) satisfait à Téquation (i4)> mais il faut prouver qu'elle a un raj^on de convergence certaine. Or on accroîtra les modules de ses termes, en y remplaçant,
d'une part, les coefficients a^fi par les quantités — —ô' limites
supérieures de leurs modules, et, d'autre part, les facteurs en dénominateur par /, limite inférieure de leurs modules. Mais la nouvelle série, ainsi obtenue, est évidemment celle que l'on trouverait en cherchant à développer la racine infiniment petite de l'équation algébrique
et converge pour des valeurs de x suffisamment petites.
95. Pour reconnaître s'il existe d'autres intégrales que la série que nous venons de déterminer, et s'annulant également pour X = 0j posons
z étant une nouvelle variable. Substituant cette valeur dans Téquation différentielle et supprimant les termes indépendants de ^, qui se détruisent, nous obtiendrons l'équation transformée
dz
(i6) X — =. z{\ 4- bx^x -h ^01^ + 6,0 37* + . . .)•
Nous avons à chercher une solution z de cette équation, J. — Cours, III. 8
Il4 TROISIÈHfE PAUTIE. — CniPITRE I.
qui ne soit pas conslarameot nulle aux environs du point x = Oy mais qui tende vers zéro lorsque x tend vers zéro suivant une loi convenable.
Soient donc
Xo un point voisin de l'origine; >So<o la valeur correspondante de z;
L une ligne allant de Xq à l'origine, et lelle que z tende vers zéro quand x décrit cette ligne.
L'équation (i6) pourra s'écrire
ou, en supposant que X ne soit pas nul et développant en série le dénominateur de dz^
dz dx , biQ-\-hfQX-\'.,. .
ct^ en intégrant de Xq k x le long de la ligne L,
log- -log — = r{Co^c,z-i-.,.)dz-^f'!^\'^^''''^-^dx.
Si X tend vers zéro, z tendant également vers zéro, les intégrales du second membre tendront vers des limites finies et <léterminées. Le second membre sera donc de la forme A 4- e, A étant une constante et s s'annulant avec x. On aura par suite
'logf -log^ ==A4-£;
d'où, en passant des logarithmes auK nombres,
•\ = ^ e^(A^e), lim 4 ^ i?. ^U ^ c,
c désignant une quantité finie et différente de zéro.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Il5
Pour que z lende vers zéro, il est donc nécessaire que x^
tende vers zéro en même temps que x. Discutons cette con-
ditjon.
Soient
\=::p -{- qiy a? = p(cos8 -h fsinô),
on aura
Quand x tend vers zéro, son module p tend vers zéro, son argument 0 pouvant varier d'une manière arbitraire, suivant la nature de la ligne suivie L. Pour que x^ tende vers zéro, il faut et il suffit que /?Logp — q^ tende vers — oo .
Soît d'abord g = o. Celte condition sera toujours satisfaite, quelle que soit la ligne L, sip est positif; mais elle ne pourra jamais Pétre si p est négatif. Dans ce dernier cas, il n'existera donc aucune intégrale de l'espèce cherchée.
Si g n'est pas nul, on pourra toujours déterminer 0 en fonction de p, de telle sorte que la condition
lim(/?Logp — ^0) = — 00
soit satisfaite ou ne le soit pas. Mais ici il convient encore de distinguer le cas où p est positif de celui où il est négatif.
Si /?!> o, la condition précédente sera satisfaite toutes les fois que B sera assujetti à varier entre des limites finies. Pour que x^ ne tendît pas vers zéro avec Xj il faudrait donc que la ligne L fût une spirale décrivant un nombre infini de révolutions autour de l'origine.
Si /? < o, le contraire aura lieu et x^ ne pourra tendre vers zéro avec x que si L est une semblable spirale.
96. Ces préliminaires posés, nous allons démontrer qu'à chaque valeur de la constante c correspond une intégrale de l'équation (i6), développable en une série à double entrée suivant les puissances de x et de x^ et convergente tant que ces deux quantités seront suffisamment petites.
Il6 TROISlfilE PARTIE. — CHAPITRE I.
Posons en effet
Sz=:x^U\
Téquation (i6) deviendra
(17) a:— = uibioX-hboiX^u-h 6,0^:*-+-. . .)•
Substituons pour u une série à double entrée
Égalant les coeffîcients des mêmes puissances de x dans les deux membres, il viendra
FpLv étant un polynôme à coefGcients positifs, formé avec ceux des b et des c où la somme des indices est moindre que
|A-hV.
Celle de ces équations qui donnerait Coo est identique; ce coefficient reste donc indéterminé, et Ton pourra lui assigner la valeur donnée c.
La résolution des autres équations donnera
<Pixv étant un polynôme dont chaque terme est un produit de facteurs &, multiplié par une puissance de c et par un entier positif et divisé par un produit de facteurs de la forme 5 -+- X^, s el t étant des entiers positifs, dont Tun peut être nul.
Le module des facteurs s -h^^t := s -i- pt -j- iqt est différent de zéro et croît indéfiniment avec 5 ou ^ (l'hypothèse q =1 o, p <iOj étant exclue par ce qui précède). On pourra donc trouver une limite inférieure m, telle que Ton ait
\ s -\-lt \> m pour toute valeur de s et de t.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIEES. 1 17
I^a série que nous venons de déterminer est une solution de Téquation différentielle (17) satisfaisant aux conditions posées, solution admissible tant que la série sera convergente. Or on diminue évidemment la convergence en remplaçant partout les facteurs s-h^^t par m, c par son module C
et les coefficients bap par les quantités -^[^tq^ limites supérieures de leur module. Or on voit sans peine que la nouvelle série obtenue est celle que Ton trouverait en cherchant à développer suivant les puissances de x et de x^ celle des deux racines de Téquation
=rmCH-Mp| I -, ^—, ^
qui se réduit à G pour ^ = o, j:^ = o.
Mais cette racine est évidemment continue et monodrome tant que les modules de x et de x^ resteront au-dessous d'une certaine limite. Donc, tant que cette condition sera satisfaite, s? sera développable en série convergente suivant les puissances de X et de x^^ et la série qui donne u sera a fortiori convergente.
97* Supposons maintenant X entier et positif. S'il est >- 1 , posons
Y =. — ^ X -f- xz»
L'équation transformée en z^ divisée par le facteur commun x^ prendra la forme
dz x-f^ = (X — 1)5 H- 610^4- ^lo-a^'-h biixz -h. . . ax
et sera semblable à la primitive, le premier coefficient \ étant diminué d'une unité.
Par une série de transformations analogues nous pourrons
Il8 TROISIÈME PARTIE. — CDAPITRE I.
réduire ce coeificient à riiaité. Reste donc à considérer l'équation
(»8) ^^— J^-rt|o^ = «lo^*-^«ll^7-^••••
Nous allons démontrer qu'elle admet pour intégrale une série procédant suivant les puissances entières de ^ et a: log^r et contenant une constante arbitraire.
Désignons à cet eifet par Aïo» • • • , Aap, ... les modules des coefficients aïo» • • • i ^ap» • • • ; p^^ ^ une quantité positive un peu moindre que l'unité, et considérons d'abord, au lieu de l'équation proposée, la suivante :
(ly) ^-r- — X7H-A,o^=A,oa;- + A„^/-4-....
D'après ce que nous venons de voir, elle admet comme intégrale une série procédant suivant les puissances de x et de x^ et contenant une constante arbitraire.
Posons
X^=ZX -\-(l — 1)1.
Par cette substitution, nous obtiendrons, comme nouvelle forme de cette intégrale, une série procédant suivant les puissances de x et de /, et qui sera encore convergente quand ces variables seront assez petites. Pour calculer directement les coefficients de cette nouvelle série, nous remarquerons qu'on a
d'où
dt Xa:^ — X .
