X . — ^ ^^ A C ""~~ Xt

cix I — A

Posons maintenant

(20) 7 = Cio^-HCoi^4-...4-C|xv^f*^^H-. . .=\ C|xv^^^^;

«QUATIONS DIFFÉRUfTIBLUS ORDINAIRES. IIQ

on aura

Substituons ces valeurs de ^ et ^ -~ dans Téquation proposée et égalons les coeflicients des mêmes puissances de x et de t dans les deux membres. Les termes en t se détruisent identiquement; ceux en ordonneront

(i — X)Cio — Coi-4-A,o— o.

Enfin on aura généralement, lorsque [jl + v >• i ,

(21) (|X-t-Xv— X)CnV— (>* -Hl)Cjji-l.VH-l=?|lV,

<Pifcv étant le coefficient du terme en x'^t* dans le second membre de Téquation. D^ailleurs on voit sans peine que ^ ^y est une somme de termes de la forme

où K est un coefficient binomial et où les indices a, ^, [jL|, Vo ... satisfont aux relations

Ces équations permettent de déterminer de proche en proche tous les coefficients G^av en fonction de Cio qui reste arbitraire.

Ce premier coefficient étant supposé réel et positif, la résolution des équations précédentes donnera pour Cp^v une expression de la forme

F|tv étant une somme de termes positifs dont chacun est le produit : i"* d'une puissance de C109 ^^ d'une puissance de C01 = Afo4- (i — ^)Cio, 3** d'un produit de coefficients A^p,

I20 TROISIÈUE PARTIE. — CHAPITRE I.

4° d'un facteur numérique indépendant de X; le tout divisé par un produit de facteurs de la forme

{JL+Xv X, fl'-hXv' X, ....

On remarquera d'ailleurs que le nombre de ces facteurs, qui figurent ainsi au dénominateur de chaque terme, ne peut surpasser 2 [jl + v — i .

Supposons en effet que ce théorème soit vrai pour tous ceux des coefficients dont le premier indice est << |x et pour tous ceux dont le premier indice est égal à p, et le second indice <[v. Si nous substituons pour ces coefficients leurs valeurs dans Téquation (ai), elle donnera pour Cj^v «ne somme de termes dont le premier contiendra en dénominateurs un nombre de facteurs au plus égal à