I. — Notions préliminaires
1. Nous avons vu dans le Calcul différentiel (Chap. I, § XIII) que, lorsqu'on a un certain nombre de relations entre une ou plusieurs variables indépendantes a?i, ^2, . . . et des fonctions ^1,^2, ... de ces variables^ on pouvait, en combinant ces équations avec celles qui s'en déduisent par dérivation, en déduire une inJGnité d'équations dififérentielles auxquelles satisfont ces fonctions.
U nous reste à traiter le problème inverse, en cherchant à remonter des équations différentielles aux relations qui existent entre les variables elles-mêmes.
J. — Cours, in. I
2 TROISlfeHE PARTIE. — GHÀPITaS I.
Nous nous occuperons d'abord des équations différentielles ordinaires, où ne figure qu'une variable indépendante x,
2. Soit proposé un système de m équations différentielles entre a? et m fonctions y^^ . . . , y^, de cette variable. On pourra, par l'introduction de variables auxiliaires, ramener le système proposé à un autre système équivalent, où ne figurent que des dérivées du premier ordre.
En effet, supposons, pour fixer les idées, que nous ayons deux équations différentielles simultanées
„/ dy d^v d^Y dz d}z\
^ K^'^' dx' dx^' dp' ^' di' d^^J "-^'
„ / dy d*v d^y dz d}z\
^X^y^ -Rx' dP'dx^'^' di' d^^)-'''
Posons
On aura évidemment
^-^y' "^yL-y^ ^-Z'
dx~~y' dx~y ' dx'" '
Ces cinq équations différentielles forment un système manifestement équivalent aux deux équations primitives, mais où ne figurent plus que des dérivées du premier ordre.
3. Considérons donc un système simultané de m équations du premier ordre
^ / dy dz du \
/ dy dz du \
tQUÀTIOlfS DIFFÉBBIfTlELLES ORDINAIRES. 3
entre la variable indépendante x et m fonctions inconnues^,
JSf Uj • • • m
Si parmi ces équations il en figure une, F = o, qui ne con^ tienne pas de dérivée, soit y une des variables qu'elle contient, l'équation résolue par rapport à y donnera un résultat de la forme
(l) ^ = (p(j7,5, Cl, ...)•
On en déduit
dy 09 d^ dz d^ du
d^^d^'^did^'^d^di'^''"
Substituant ces valeurs dans les équations
on aura un système de m — i équations différentielles pour déterminer les m — i variables z, u, . . .; on calculera ensuite y par l'équation (i).
Supposons, au contraire, que l'équation F = o contienne
dy au moins une dérivée, telle que ^ • Résolvant par rapport à
cette dérivée, il viendra
dv .[ dz du \
Sabstituons cette valeur dans les équations suivantes ; on obtiendra un système
(dz du \
équivalent au proposé.
Si l'une des équations f, = o, ••• ne contenait aucune dérivée, on pourrait s'en servir, comme il a été expliqué,
4 TEOISlfcn PARTIE. •— GHàPITRB I.
pour éliminer une variable et ramener l'étude du système proposé à celle d^un système de m — i équations différen*
tielles seulement.
dz Si, au contraire, Téquation f i = o contient une dérivée -j- y
on en déduira
dz dx
et Ton substituera cette valeur dans les équations suivantes.
Continuant ainsi, on arrivera à mettre le système sous la
forme
dy ^ dz da ^
di-^^' 5^"--^*' 5^"~'^'' •••'
yj^ne contenant plus -j-i f^ ne contenant ni -^ ni -t— > • • • •
Portant maintenant dans chaque équation les valeurs des dérivées fournies par les équations suivantes, on obtiendra un nouveau système d'équations, de la forme suivante :
Un système d'équations simultanées du premier ordre, ainsi résolu par rapport aux dérivées, est dit ramené à sa forme normale.
On voit, par ce qui précède, que Tétude d'un système quelconque d'équations différentielles simultanées peut être ramenée à celle d'un système normal. Le nombre des équations de ce système normal équivalent au proposé servira de définition à Vordre de ce dernier.
En particulier, si l'on n'a qu'une équation différentielle
d"*Y f( dy d"^-^y\
ÉQUATIOIVS DIFFÊRBNTIBLLBS ORDINAIRES. 5
elle sera équivalente au système normal
Son ordre sera donc égal à m.
4. D'un système de m équations différentielles entre x et les m fonctions y^ z, Uj . . . , on peut déduire, ainsi que nous allons le voir, une équation différentielle où ne figurent que X et^.
£n général, le nombre des équations données n*est pas suffisant pour éliminer ^, t^, . . . et leurs dérivées. Mais, si nous prenons la dérivée de chacune des équations données, nous obtiendrons m équations nouvelles, en introduisant au plus m — I inconnues de plus, à savoir une dérivée nouvelle de chacune des fonctions js, m, .... En répétant celte opération, on arrivera évidemment à se procurer assez d ^équations pour eOectuer l'élimination.
Considérons, par exemple, un système de trois équations
F=zo, F, — o, F, = o
entre x^y^ z, u» Supposons que l'ordre de la plus haute dérivée de chaque variable, dans chacune de ces équations, soit donné par le Tableau suivant :
ni
Px
ntt
nt
Pt
Différentions les trois équations respectivement Â, A|, As fois. Nous obtiendrons ainsi un total de A + A| + A^ + 3 équations, entre lesquelles on aura à éliminer z et ses B premières dérivées, u et ses C premières dérivées, B désignant
le plus grand des nombres A -4- /i, A| -|- /i| , Aq -j- /la, et C le
plus grand des nombres A -{-/?, A|-h/>i? ^2-*-p2] soît en
tout B 4- G + 2 inconnues.
En thèse générale, l'élimination ne pourra se faire que si
le nombre des équations surpasse celui des inconnues. On
devra donc avoir
et, comme on a
on en déduit
A^/ii-f-/?!, A5/i,-H/>i.
On voit de même que A| est au moins égal au plus grand des deux nombres n-\' p^y /Z2 + />9 et A^ au moins égal au plus grand des nombres n +/?i, /i| H-/>.
Il est d'ailleurs aisé de voir qu'en prenant A, A| , A2 précisément égaux aux limites inférieures trouvées ci-dessus, on aura juste le nombre d'équations nécessaires pour l'élimination.
Soit en effet, pour fixer les idées,
B = A 4- ^i > Aj -t- /Il 5 Al -h /ij. On en déduira
A -h /i = /n- /Il -f- />! ;^ Aj 4- ^1,
d'où
B=:A4-/i = Ai4-/ij;
et, d'autre part,
A-h/?=/?4- /li4-/>j< A.,4-/>t.
On trouvera de même
Ai4-/?i<At4-/?, ou 5A4-/>, suivant que Ai sera égal à /i +/?2 ou à /Iq -!-/>.
fiQUÀTlOfCS DIFFÉRBIfTIBLLBS ORDINAIRES. 7
On aura donc, dans tous les cas,
C=:A,-h/?,5Ai-h/?i5A-*-/>, et, par suite,
B -f- C = Aj -f- /i, 4- A, + /?,=: A H- Aj -h A,.
Eln donnant à A, A|, A| les valeurs ci-dessus, on aura donc une équation de plus qu'il n'est nécessaire pour déterminer Zy u et leurs dérivées au moyen de y et de ses dérivées. Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donneront une équation finale ne contenant que j^, et ses dérivées jusqu'à Tordre D, D désignant le plus grand des nombres A + m^ A, -h m,, Aa+z/îa-
Ce nombre D, qui représente l'ordre du système, sera évidemment égal au plus grand des nombres /n + /i| -{-/><) m I -h /i -4-/72) • • •) qu'on obtient en associant ensemble trois nombres du Tableau (â) appartenant à la fois à des horizontales et à des verticales différentes.
5. Ce résultat, qu'on étendrait sans difliculté au cas d'un nombre quelconque d'équations, peut se trouver en défaut si jff, 2i et leurs dérivées figurent dans les équations proposées de telle sorte que l'élimination puisse se faire avant qu'on ait formé toutes les équations auxiliaires qui paraissent au premier abord nécessaires, d'après le nombre des quantités à éliminer.
On obtiendra, même dans ce cas, une équation finale euy de la forme
mais ^, ;/, au lieu d'être immédiatement donnés en fonction de^ et de ses dérivées, pourront être déterminés par de nouvelles équations différentielles, de la forme
cP^z ( dy cP^-^z di*-^u\
^^^ (.^'•^'^'•••'^'"'•••'rfïx::î'5ÏFTJ'
/ dy cP-^z d^-^u\
8 TROISlftMB PARTIB. — CHAPITBB I.
Éliminant u entre ces équations par la répétition du même procédé, on arrivera à faire dépendre l'étude du système primitif de celle d'un système de la forme suivante :
u __. ( ^ dr-^u\
dr
dxt
6. Considérons, en particulier, les fonctions déterminées par une équation différentielle
/ dy d^Y\
d^ V algébrique par rapport k x^ y, ..,<, ^^•
Toute solution d'une semblable équation satisfait évidemment à une infinité d'équations analogues résultant de la combinaison de F et de ses dérivées.
Réciproquement, soit y une fonction de x qui satisfasse à une série d'équations différentielles algébriques
F =1 o, Fi nn o, ....
Toutes ces équations résulteront de la combinaison de l'une d*enlre elles avec ses dérivées.
Considérons, en effet, parmi toutes les équations de ce genre auxquelles j^ satisfait, celles dont Tordre est minimum, et parmi celles-ci choisissons celle où la plus haute dérivée est élevée à la puissance minimum. Soient a et p. cet ordre et ce degré, F = o Téquation correspondante; F, = o une autre équation quelconque du système.
De l'équation F =^ o et de ses dérivées on pourra déduire les
valeurs de -j—^^ • • • et des puissances de -r^ de degré ^ p. en fonction rationnelle de ^, ^, ^ , • • •» -r^^ • • •> ( j~i^ )
ÉQUATIONS MPPÉBKZfTULLBS ORDINAIKBS. 9
Sabstituant ces valeurs dans F|, on obtiendra une nouvelle équation ♦ = o, qui ne contiendra plus que x^ y^ -j-y • • • >
j-^> •••! ( j-^) • Mais, d'après notre hypothèse, y ne
satisfait à aucune équation de ce genre. Donc l'équation ^ =: o est une identité.
Nous dirons que la fonction y est une solution propre de Féquation F = o et une solution impropre des autres équations F| = o, ... ; et nous appellerons ordre de la fonction l'ordre de l'équation F = o.
D'après cette définition, les fonctions algébriques seront d'ordre zéro; les fonctions d'ordre >- o seront transcendantes.
Une équation dififérentielle algébrique F = o est dite irréductible, si elle n'admet que des solutions propres
7. Soient ^, z, . . . des solutions des équations différentielles algébriques
-,/ dY d^Y\
(3) / / dz d^z\ ^
de degrés [x, v, . . ., par rapport a -f^y Zn^ " "
Soient, d'autre part, Y, Z, ... d^autres fonctions satisfaisant à des équations analogues
Supposons qu'il existe entre ces diverses fonctions et leurs dérivées une relation algébrique
Si nous éliminons Y, Z, ... entre cette équation et les équations (4)» nous obtiendrons une équation différentielle
lO TROISlftMB PART». — GHAPITRB I.
G = o entre y^ z^ . . . , qui représentera la condition nécessaire et suffisante pour que ces fonctions, associées à des solutions convenablement choisies des équations (4)> satisfassent à Téquation V = o.
Si donc l'équation G = o n'est qu'une conséquence des équations (3) et de leurs dérivées, tout système de solutions de (3), associé à un système convenable de solutions de (4)) satisfera encore à l'équation ^ = o.
Ce cas se présentera nécessairement s'il n'existe entre les solutions y^ z^ . . . , primitivement données, aucune relation algébrique de la forme
d^ Y dr Z
OÙ ^-^' T~^^ '*■ %"''6i^^ *v®c ^^s degrés respectivement
inférieurs à pi, v, ....
En effet, au moyen des équations (3) et de leurs dérivées,
on peut éliminer de G les dérivées -r-rrr? •••> t-^ — > •••
et les puissances {--f-s,) > (t^) » •"• On obtiendra ainsi
une équation de la forme (5), laquelle devra, par hypothèse, se réduire à une identité.
8. Comme application des considérations qui précèdent, cherchons la forme la plus générale des relations algébriques qui peuvent exister entre des intégrales abéliennes^i, ...,^m définies par les équations différentielles algébriques
Soit
(6) v(^,ri> •••»/m) = 0
une semblable relation. Nous pouvons évidemment admettre
ÉQUATIONS DIFFÉBKIfTIELLBS ORDINAIRES. Il
qu'il n'existe aucune relation de même nature entre les fonctions y^^ . . . , j^m-i et la variable indépendante.
L'équation (6), résolue par rapport à^^j pourra s'écrire
D'après le théorème précédent, cette équation subsistera si l'on y remplace j^^, •••j^m-i psir des solutions quelconques des équations F|, ..., F^-o pourvu qu'on remplace en même temps y m par une solution convenable de Téquation FjN. Mais il est clair que les solutions de chacune de ces équations s'obtiennent toutes en ajoutant à l'une d'elles une constante d'ailleurs arbitraire. On aura donc
C|, . . . , Cm-\ étant des constantes arbitraires, et Cm une autre constante, dépendant de celles-là.
Prenant la dérivée de cette équation par rapport à la constante C| , il viendra
de, ~" de, "~ d/,
et, en posant c, = . . . = Cto i = o,
k^ désignant la valeur constante que prend dans cette hypothèse la dérivée *"
de,
Cette dernière équation doit se réduire à une identité, puisque nous supposons que Xj y^, ..., ym-\ ne sont liées par aucune relation algébrique. On aura de même identiquement
ta TROISIËMB PARTIS. — GHAPITRS I.
^39 '" } f^m-i étant des constantes. On en déduit
? = ^'i 7i -H . . . 4- it;„-i7/«-i -h X,
X étant une fonction algébrique de x. La relation cherchée sera donc de la forme
7m = ^i/i -+-... 4- /rm-i7/«-i 4- X.
9. Ces préliminaires posés, il nous reste à indiquer les procédés par lesquels on peut intégrer une équation différentielle (ou un système de semblables équations), c'està-dire déterminer ses solutions.
Il est aisé de voir, par des exemples, que ce problème est indéterminé.
Considérons, en effet, une équation
entre la variable indépendante Xy la fonction j^ et la constante arbitraire c. On en déduit par différentiation
Tirons la valeur de c de l'équation (7) pour la substituer dans (8); il viendra, en représentant par des parenthèses le résultat de cette substitution.
Cette équation différentielle admet pour solution la fonction ^, définie par l'équation (7), quelle que soit la constante c. A chaque valeur de cette constante répond une solution particulière. L'ensemble de ces solutions se nomme la solution générale.
Pour reconnaître s'il existe d'autres solutions, en dehors de celles que nous venons de déterminer, introduisons une
ÊQUÀTI0R9 DIFFÉRBNTIBLU9 ORDINAIRES. l3
variable auxiliaire c définie par l'équation (7). Cette équation différentiée donne
ox oy ^ de
on, en substituant pour c sa valeur tirée de (7),
on enfin, en tenant compte de l'équation (9),
On peut satisfaire à cette équation de deux manières : 1^ En posant
efc = o, d'où c = const. ;
la valeur correspondante de y étant donnée par TéquatioD (7), on retombe ainsi sur la solution générale; 2^ En posant
Cette équation détermine la valeur de y en fonction de x. L'inconnue auxiliaire c sera ensuite déterminée par l'équation (7).
La nouvelle solution ainsi obtenue se nomme la solution singulière de l'équation différentielle.
En considérant x, y comme les coordonnées d'un point, chaque solution particulière
où c est supposé constant, représente une courbe.
La solution générale représente l'ensemble de ces courbes. Enfin la solution singulière, définie par l'équation
l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
résultat de rélimination de c entre les équations
représentera Fenveloppe de ce système de courbes.
Il arrivera parfois que les deux équations (lo) soient incompatibles, auquel cas il n^y aura pas de solution singulière; ou que la valeur de c en fonction de j;, déduite de ces équations, se réduise à une constante; dans ce cas, la solution singulière se confondra avec l'une des solutions particulières contenues dans la solution générale.
10. Les considérations précédentes peuvent aisément s^étendre à des systèmes d'équations diflerentielles simultanées. Soient, par exemple,
(II) ?i = o, <pt=o
deux équations entre la variable indépendante Xj les deux fonctions ^i , y 2 et deux constantes Cf , Ca] on en déduira, en diiférentiant et éliminant Cf, Ca, les deux équations difiérentielles
dont les équations (1 1) représentent la solution générale.
Pour obtenir les autres solutions s'il en existe, prenons pour inconnues auxiliaires les quantités C|, Ca déûnies par les équations (11).
La différentiation de ces équations donnera
ÉQUATIONS BIFFÉBENTIBLLBS ORDINAIRES. l5
OU, en éliminant C|, Ca et tenant compte des équations (12)9
On peut satisfaire à ces équations :
I® En posant
ûfc|=io, dCf^^o,
d'où
Cl = const. , Cj := const. ;
on retombe ainsi sur la solution générale ; a® En posant
auquel cas les équations (i3) se réduisent à une seule d'entre elles, par exemple à
(■« fê)*-(5S)*-=<"
Cela posé, des trois équations
?1 = 0, «p,= 0, AmO
on pourra déduire les valeurs de Ci, C2, jKa en fonction de x et dej^i. Substituant ces valeurs et leurs différentielles dans Féquation (i4)} cUe prendra la forme
Xdx +Ydf/, = 0,
où X, Y sont des fonctions de x et de j^|.
Toute solution ^1 de cette équation, combinée avec la valeur correspondante de^a tirée de A := o, donnera une solution singulière des équations différentielles (12;.
3^ Enfin, si les équations
(^)=«. m=- (!■)=». (fe)=»
étaient satisfaites par un même système de valeurs de^i, j^av
ï6 TROISIEME PARTIE. — GHAPITRR I.
elles fourniraient une nouvelle solution ; mais le système de ces équations est généralement surabondant.
11. Le problème de l'intégration des équations différentielles (ou des systèmes d'équations différentielles) peut être envisagé sous deux points de vue différents.
On peut se proposer d^obtenir une solution générale. Celle-ci trouvée, les solutions singulières s'en déduiront immédiatement si l'on a affaire à une seule équation, ou s'il s'agit d'un système d'équations différentielles, par l'intégration d'un nouveau système d'ordre moindre que le proposé. On pourra ainsi former le tableau de toutes les solutions possibles.
Mais, dans les applications du Calcul intégral, la question de l'intégration se présente autrement. Les fonctions inconnues sont assujetties, non seulement à satisfaire aux équations différentielles données, mais à d'autres conditions accessoires qui achèvent de les préciser, de telle sorte que le problème ne présente plus rien d'indéterminé.
Considérons, par exemple, le mouvement d'un point dans l'espace. D'après les principes de la Mécanique, ce mouvement sera défini par les six équations suivantes :
dx , dy , dz ,
dt~ ' dt--'^' dt~ '
^'^^ ^ da/ ^ dy ^ ds'
OÙ m désigne la masse du point; x, j^, z ses coordonnées à l'époque ^^ X, Y, Z les composantes de la force qui le sollicite.
Il est clair que ia question ainsi posée est encore indéterminée. Mais on pourra achever de la préciser en se donnant, par exemple, la position du point, et les composantes de sa vitesse à Tinstant initial Cq» Le problème deviendra, en général, déterminé, et pourra se formuler ainsi :
Trouver six fonctions Xj y^ Zy xf^y^ z' de la variable ty
ÉQUATIONS DIFFfiESNTIBLLBS O&DINAimBS. 17
qui satisfassent aux équations différentielles (i5), et qui prennent des valeurs données Xqj y^y z^, x^j y\^ z*^ pour t = to.
La question ainsi posée sera facile à résoudre si Ton peut déterminer la solution générale du système (i5). Cette solution sera, en effet, donnée par un système de six équations
entre x, y, js, ar', y, z', t et six constantes arbitraires a^J ..., a«. En exprimant que ces six équations sont satisfaites lorsqu'on y pose t = tf^y x = a?o, • . . i V= js'^, on obtiendra six équations de condition pour déterminer les valeurs de ai , . . ., ae correspondantes à la solution particulière que Ton cherche. Mais ce n^est que dans des cas très spéciaux qu'on sait obtenir la solution générale d'un système d'équations différentielles. On se trouvera donc réduit le plus souvent à étudier la solution particulière qui satisfait au problème déter* miné que Ton a en vue. Il existe pour traiter cette nouvelle question des procédés d'approximation numérique que nous exposerons plus tard, et qui seraient inapplicables au problème plus étendu, mais plus vague, de la recherche de la solution générale.
n. ~ Équations da premier ordre.
12. Considérons une équation différentielle du premier ordre ramenée à la forme normale
dx ou
(ï) dy — Xdx:=zo,
Au lieu de cette équation, on peut considérer, avec Eulcr,
J. — Cours, m. a
l8 TROISlfcME PARTIE. — CHAPITRE I.
la suivante
(a) ^dy — |i.Xéia?=:o,
où (x est une fonction de x^ y choisie à volonté.
L'équation (2) est, en effet, équivalente à (i), tant que (x n^est ni nul ni infini. La seule différence est qu'elle pourra admettre la solution nouvelle |x = o, ou perdre la solution
Supposons le facteur |x choisi de manière que le premier membre de l'équation (2) soit une différentielle exacte. On pourra déterminer, par de simples quadratures (t. II, n^ 161 ), une fonction cp, telle que l'on ait
d^ziL^dy — |aX dx.
Lors même que ces quadratures ne pourraient s'effectuer, exactement, il sera toujours possible de déterminer, avec telle approximation que l'on voudra, la valeur de f pour chaque système de valeurs de Xy y.
Cela posé, l'équation (2) se réduit à
et donne immédiatement
f = const.
Le problème de l'intégration sera donc résolu dès qu'on aura déterminé, soit la fonction f , soit le multiplicateur [x, d'où f peut se déduire par quadrature.
