L'équation

d^rzz^dy — [xXcte

se décompose dans les deux suivantes :

Éliminant |jl, on obtiendra l'équation aux dérivées par-

ÉQUATIONS DIFFÊHBNTIBIXBS OEDINAIEBS. 19

tielles

L'intégration de cette équation aux dérivées partielles et celle de Féquation (i) sont deux problèmes entièrement équivalents.

En effet, soit f une solution (ou intégrale) quelconque de Téquation (3). On aura

L'équation

dy — X ef 0? = o

sera donc équivalente à £iff = o et admettra la solution générale

o =1 const.

Réciproquement, supposons que, par un procédé quelconque, on ait obtenu une solution générale de Téquation (i), telle que

c étant une constante arbitraire. Cette équation, résolue par rapport à c, prendra la forme

Dîfférentiant, il viendra

ooc oy

Cette équation devant élre équivalente à l'équation primitive (i), les coefficients de dx et de dy doivent être proportionnels; d*où la relation

Donc cpi est une intégrale de Téquation (3).

TROISIÈBIB PARTIB. — CHAPITftB I.

Cette intégrale une fois connue, on pourra en déduire toutes les autres. Soit, en efiet, f une autre intégrale quelconque; des deux équations (3) et (4) on déduit

dx

ày

équation qui exprime que f est une fonction, d^ailleurs arbitraire, de cp|.

li. Quant au multiplicateur [x, il doit satisfaire à la condition d'intégrabilité

dx (J/ "~ '

et réciproquement, toute solution de cette équation donnera un multiplicateur.

Connaissant un multiplicateur {Ji et Tintégrale cp correspondante, on en déduira aisément tous les autres. Soit, en effet, (jl'= [XV un autre multiplicateur; on aura

àx ày

Donc V sera une intégrale de Téquation (3), et Ton aura V = F(y)> F désignant une fonction arbitraire.